Radici quadrate babilonesi

Nel post precedente abbiamo visto l’algoritmo “scolastico”, nel senso che è quello studiato a scuola, per estrarre le radici quadrate. Funziona, abbiamo anche visto perché, ma non è il più antico metodo di calcolo che è stato usato! Non so effettivamente quando sia apparso l’algoritmo noto come metodo babilonese, ma sicuramente è precedente all’estrazione specifica, visto che quest’ultima è necessariamente successiva all’uso della notazione decimale.

Il calcolo della radice quadrata con il metodo babilonese è concettualmente semplice; per calcolare la radice quadrata di x, si parte con una stima qualunque s0 (se uno non è proprio capace a stimare, può prendere 1). La seconda stima s1 sarà la media aritmetica tra s0 e x/s0, e così via. Il metodo converge molto velocemente: guardate cosa succede con la radice quadrata di 2.

s0 = 1
s1 = (1+2)/2 = 3/2 = 1,5
s2 = ((3/2)+(4/3))/2 = 17/12 = 1,41666…
s3 = ((17/12)+(24/17))/2 = 577/408 = 1,41422…

Considerando che il valore corretto è 1,41421… non abbiamo dovuto fare molto lavoro, no? (occhei, lavorare con 2 ha semplificato i conti. Provate con 3,1415926535). Il motivo per cui il metodo funziona è semplice. Per definizione, se si è una stima per difetto di √x, allora x/si sarà una stima per eccesso, e viceversa. È vero che la media tra i due valori non è necessariamente una stima migliore di quella iniziale: pensate a calcolare la radice di 1000 partendo da 1 e trovando 500,5 come secondo valore. Ma questo può capitare solo al primo passo. In seguito, se il numero di partenza è maggiore di 1, è facile mostrare come tutte le stime successive siano per eccesso; gli scettici possono andare a leggere su Wikipedia le proprietà della disuguaglianza aritmo-geometrica, quella insomma che dice che dati due numeri positivi la loro media aritmetica è sempre maggiore o uguale di quella geometrica, e l’uguaglianza si ha solo quando già i due numeri sono uguali.

I teorici notano che questo algoritmo è un caso particolare del metodo di Newton, e affermano che il numero di cifre decimali corrette calcolate per la radice quadrata di un numero dovrebbe circa tendere a raddoppiare a ogni passo, il che sembra sicuramente molto meglio del calcolo manuale. Perché allora non si insegna questo metodo? Beh, proviamo a calcolare per esempio la radice quadrata di 42, partendo dalla stima 6 che sappiamo essere la parte intera del risultato.

s0 = 6
s1 = (6+7)/2 = 13/2 = 6,5
s2 = ((13/2)+(84/13))/2 = 337/52 = 6.480769…
s3 = ((337/52)+(2184/337))/2 = 227137/35048 = 6.480740…

Come vedete, i numeri in gioco diventano subito grandi, e le moltiplicazioni da eseguire usano numeri grandi, mentre nel metodo standard sono solo per numeri di una cifra. Inoltre occorre una divisione finale, anch’essa complicata. Per quanto mi riguarda, insomma, il calcolo standard è un sistema diesel (senza turbo…) che va piano ma è affidabile. Poi, come ho scritto, non è che io capisca perché non si può prendere una calcolatrice!

Detto tutto questo, non è che io sia così certo che i babilonesi calcolassero effettivamente così le radici quadrate. A quanto ne so io, a loro piacevano le radici quadrate, tanto che prendevano le tavolette di argilla e ci incidevano le tavole di radici quadrate. Insomma, lo stesso ragionamento che millenni dopo avrebbe portato a compilare le tavole dei logaritmi: qualcuno fa la fatica una volta per tutte e gli altri scopiazziano i risultati. Sono però certo che i greci classici non si sono mai preoccupati di simili metodi: non solo perché sporcavano la teoria – che ci vuole a disegnare la radice quadrata di un segmento, cioè calcolare il medio proporzionale tra quel segmento e uno unitario? – ma perché dai tempi di Ippaso non ci si fidava molto di questo tipo di numeri…