Numeri primi cuGGini

Questa è una settimana davvero ricca di novità nel campo della teoria dei numeri, anche se probabilmente per chi non è abituato a vedere come pensano i matematici questi risultati non sembreranno affatto impressionanti. Oltre alla dimostrazione della congettura debole di Goldbach, parrebbe che per la prima volta si sia fatto un passo avanti nella dimostrazione della congettura dei numeri primi gemelli, o almeno così sembrerebbe dal seminario che il matematico Zhang Yitang ha tenuto lunedì scorso ad Harvard. Ma partiamo da un po’ più indietro, vale a dire da La solitudine dei numeri primi.

Il bestseller di Paolo Giordano a mio parere ci ha guadagnato molto da quel titolo, indubbiamente molto evocativo. I numeri primi, dice Giordano, sono “soli”; tranne che per la coppia 2-3, non ne esistono altri l’uno vicino all’altro. Questo è facile da notare, visto che due numeri consecutivi sono uno pari e uno dispari, e l’unico numero primo pari è 2. I matematici però sono molto più pragmatici di quanto si possa pensare. In assenza di numeri primi vicini hanno così cercato la “next best thing”: coppie di numeri primi a distanza due tra loro. Di queste coppie ce ne sono tante: 11 e 13, 101 e 103, 3756801695685 × 2666669 − 1 e 3756801695685 × 2666669 + 1… (quest’ultima coppia è stata trovata nel 2011 e al momento detiene il record di grandezza). Tali coppie di numeri sono chiamate primi gemelli.

Di coppie ce ne sono tante, dicevo. Ma sono finite o infinite? Non si sa. Peggio ancora, non si ha nemmeno un’idea intuitiva della risposta: per dire, molti matematici sono convinti che l’ipotesi di Riemann sia vera, e credo tutti siano convinti che la congettura “forte” di Goldbach, o quella di Collatz, siano vere e che l’unico guaio sia che non sappiamo come dimostrarle. Invece in questo caso ci sono motivi a favore e contro la congettura, quindi non si sa che pesci pigliare. Si sa per esempio che la distanza media tra due numeri primi cresce, e che ci sono insiemi grandi a piacere di numeri consecutivi composti: però i numeri primi sono “abbastanza”, e distribuiti in maniera abbastanza peculiare, da non negare a priori tale possibilità.

Come scrive David Roberts su Google+ (tra l’altro, avete notato che c’è vita su G+?) i matematici mica si danno per vinti così facilmente. Notano che dire “ci sono infinite coppie di primi a distanza due tra loro” è la stessa cosa che dire “ci sono infinite coppie di primi a distanza minore di tre tra loro”. A questo punto si può ancora abbassare l’asticella e chiedersi “riusciamo a dimostrare che si sono infinite coppie di primi a distanza minore di N, per un qualche N?” Questi non sarebbero ovviamente numeri primi gemelli; potremmo chiamarli fratelli.

Ecco: Zhang è per l’appunto riuscito a trovare questo “qualche N“, che per la precisione è 70.000.000 (settanta milioni). Credo che per una persona non avvezza alla matematica un risultato di questo tipo sia ridicolo: “Come? Dobbiamo cercare numeri a distanza 2 e questo se ne esce fuori con una distanza di settanta milioni? Altro che fratelli, questi sono numeri primi cugini!” Per chi è un po’ più abituato alla matematica, però, questo risultato è eccezionale, perché per la prima volta si avrebbe un limite finito; ed è molto più facile a questo punto lavorare per ridurre il limite. Tra l’altro, nel 2005 era stato dimostrato che esisterebbero infinite coppie di numeri primi a distanza al più 16… se fosse vera la congettura di Elliott-Halberstam sulla distribuzione dei numeri primi, congettura della quale naturalmente non si sa affatto nulla. Il guaio dei matematici che fanno teoria dei numeri è che sono così desiderosi di trovare risultati che spesso peccano di wishful thinking e si chiedono “ma se la proprietà tal dei tali fosse vera, cosa possiamo dimostrare?” Cosa non si fa per qualche articolo.

La dimostrazione di Zhang deve essere ancora validata dalla comunità matematica: ma come dice Terry Tao il fatto che nasca da linee “classiche” come il teorema di Bombieri-Vinogradov e i metodi di Goldston, Pintz e Yildirim rende abbastanza ottimisti i matematici. Vedremo cosa succederà nei prossimi mesi o anni!

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