no, ne bastano tre [Pillole]

L’anno scorso scrissi di come Terry Tao aveva dimostrato un teorema che si avvicina alla congettura di Goldbach, quella che afferma che ogni numero pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri primi. Il teorema di Tao affermava che ogni numero dispari è esprimibile come somma di al più cinque numeri primi. Oggi Tao ha comunicato che Harald Helfgott è riuscito a dimostrare un risultato ancora migliore: ogni numero dispari maggiore di 5 è esprimibile come somma di tre numeri primi; la cosiddetta “congettura debole di Goldbach”. L’abstract al solito è su arXiv: sono solo 133 pagine.

Tecnicamente, per quel poco che posso capire io, Helfgott ha preso il risultato di Tao, che come avevo scritto sfruttava il metodo di Hardy-Littlewood-Vinogradov, e ha fatto i conti in maniera più precisa riuscendo quindi a migliorare a sufficienza le stime e quindi ricavare un risultato più forte. Detto questo, a quanto pare questa tecnica non è assolutamente applicabile alla congettura standard di Goldbach. Ancora una volta abbiamo che un’osservazione abbastanza banale (se prendete un numero dispari maggiore di 1000 ci saranno decine di modi per scriverlo come somma di tre primi, e il numero di modi statisticamente aumenta col crescere del numero) viene dimostrata in un modo complicatissimo. Il bello della teoria dei numeri sta proprio qua: scoprire che la struttura dell’insieme dei numeri ha tantissimi vincoli che però non si possono dimostrare semplicemente a vista.