Il teorema di Futurama

Come per esempio spiega Wikipedia, Futurama è è una serie TV a cartoni animati creata da Matt Groening (autore anche de I Simpson) e David X. Cohen. Come anche in altri casi (si pensi a South Park), questi sono cartoni pensati per adulti: ma arrivare ad avere un teorema matematico creato espressamente per la serie è un bel risultato!

Il teorema di Futurama (da The Infosphere)

Il teorema di Futurama (da The Infosphere)

Come si può leggere su The Infosphere, nell’episodio Il prigioniero di Benda (stagione 6, episodio 10) il professor Farnsworth e Amy hanno creato una macchina per scambiare le menti, o se preferite i corpi. Peccato che scoprano che la macchina ha un difetto fondamentale: che se due persone si sono scambiate la mente tra di loro non possono ri-scambiarsi. Dopo questa scoperta comincia un valzer di scambi mentali, tanto che alla fine ci sono nove persone – in senso lato – in un corpo diverso dal loro. A questo punto il professor Farnsworth e i Globetrotter si mettono alla lavagna e trovano un modo per rimettere tutte le cose a posto usando due sole persone “vergini”, nel senso che non hanno mai avuto uno scambio di corpi tra di loro né con gli altri da scambiare; tutto è bene ciò che finisce bene.

La sceneggiatura dell’episodio è di Ken Keeler, che ha un PhD in matematica e si deve essere divertito a inserire un vero (e inedito) teorema in un cartone animato. La dimostrazione non è complicata, almeno per un matematico. Dovete sapere che ogni permutazione può essere “decomposta” in un certo numero di cicli con tutti elementi distinti, dove un ciclo è qualcosa del tipo abc → … → sa e la freccia significa che un elemento è stato permutato in un altro. In pratica si prende la mente di un personaggio, si vede in quale corpo è stato tramutato, si prende la mente corrispondente e si continua così finché non si ritorna al punto di partenza; a questo punto si cerca qualcuno che non è ancora stato considerato e si prosegue allo stesso modo. A questo punto si prende uno di questi gruppi, si aggiungono due nuovi emementi x e y, e si costruisce esplicitamente l’insieme di scambi che rimettono tutti a posto, facendo attenzione a non scambiare mai x con y; facendo il lavoro per tutti i cicli arriviamo alla soluzione. L’unica cosa a cui stare attenti è che in alcuni casi il riassestamento del ciclo potrebbe terminare con x e y scambiati tra di loro: non è un problema, basta ricordarsi di farli scambiare solo dopo che tutti gli altri sono tornati nei loro corpi.

È interessante notare come la costruzione non sia ottimale; questo non è generalmente un problema per un matematico, a meno che non stia risolvendo un problema di ottimizzazione, ma può sconcertare chi matematico non è. Capita un po’ come nelle barzellette che prendono in giro i matematici, come quella in cui il matematico svuota un pentolino già pieno d’acqua se deve cuocere un uovo sodo “per riportarsi al caso precedente”. Il punto è che il teorema deve essere valido sempre, e la dimostrazione deve essere il più compatta possibile: ecco perché si accettano delle subottimalità.

E poi, volete mettere com’è carina quella schermata di formule?