Brancher e la logica

Lo so, in questi giorni parlare del ministro per il non-si-sa-ben-cosa Aldo Brancher è un po’ come sparare sulla Croce Rossa; però in questo caso lo prendo solo come spunto per parlare di un problema di logica matematica, o meglio di mancata conoscenza della logica proposizionale (la logica dei predicati, come mi è stato fatto notare nei commenti, non ci serve). Sto parlando della sua frase, pronunciata in un’intervista al TG3, «L’Italia dopo che ha perso i mondiali se l’è presa con me»

Partiamo dal principio: in molti sono convinti che le vittorie dell’Italia ai mondiali di calcio siano utili per il governo in carica – qualunque esso sia – che ha la possibilità di far passare provvedimenti diciamo “delicati” senza che l’opinione pubblica dia loro troppo peso. Se l’affermazione X è «L’Italia vince i mondiali» e l’affermazione Y è «nessuno si occupa di Brancher», il risultato in termini di logica matematica è

[1]      X → Y

che si legge “X implica Y”. Accettiamo ora per ipotesi che tale implicazione sia vera: attenzione, perché noi non stiamo dicendo nulla sulla verità o meno delle singole affermazioni X e Y, ma solo su come si possono correttamente combinare; lo spiego meglio sotto. Quello che Brancher ha detto si può scrivere come

[2]      (NON X) → ( NON Y)

dove un vero logico userebbe un segno apposta come ¬ al posto del NON: ma noi non siamo così fiscali. Bene: molti pensano che [1] e [2] siano equivalenti, ma questo non è affatto vero!

Quando si usano i cosiddetti connettori logici (AND, OR, NOT, e →) e non si è ancora esperti, è meglio iniziare a scrivere la tabella di verità, che per ogni combinazione di verità o falsità delle affermazioni costituenti mostra verità e falsità dell’affermazione congiunta. Nel nostro caso abbiamo questa tabella:

X Y X → Y
V V V
V F F
F V V
F F V

Qualcuno si potrebbe stupire che negli ultimi due casi, quelli in cui la prima affermazione sia falsa, l’implicazione sia invece vera. Nel Medioevo si diceva “ex falso quodlibet”, cioè “da una cosa falsa si può ottenere quello che si vuole”; se non siete convinti della cosa pensate a una frase tipo “quando piove, Anna va in ufficio in macchina”. Se vi chiedeste “quando piove, Anna va in ufficio in bicicletta?” la risposta è no, quindi l’implicazione è falsa; ma se non piove non abbiamo idea di sapere se Anna va in macchina o in bicicletta, quindi nessuna delle due implicazioni è falsa, e pertanto sono entrambe vere (nella logica standard un’affermazione o è vera o è falsa, non la si scampa).

Ma questo a sua volta significa che (X → Y) e ((NON X) → ( NON Y)) non possono essere la stessa cosa, perché se (NON X) è vero allora X è falso, e quindi, come visto sopra, può succedere di tutto. Detto in altri termini, è possibile che gli italiani se la siano presi con il povero neoministro perché l’Italia ha perso i mondiali, ma nulla nel mondo della logica vieta che pur con la nazionale buttata fuori con ignominia Brancher continuasse a rimanere ignorato. La sua, insomma, è una semplice scusa senza fondamento logico… occhei, forse pretendere che un politico sia logico è un po’ troppo, avete ragione.

Per i curiosi, l’affermazione (X → Y) è la stessa cosa di ((NON Y) → ( NON X)), come potete verificare da voi calcolando la tabella di verità. Nel caso di Anna, cioè, tutto quello di cui siamo certi è che se va in ufficio in bicicletta allora non piove; se va in macchina non si sa.