Probabilità di successo

Noi abbiamo l’assessore regionale alla sanità Gallera che ci spiega come un fattore di contagiosità 0,5 significa che occorre stare vicino a due infetti per essere contagiati; ma non è che il resto del mondo sia messo tanto meglio. Ho scoperto infatti da questo tweet di Sonia che Robin Shattock, immunologo e professore all’Imperial College di Londra, ha dichiarato al Guardian che

“Il tasso di successo dei vaccini a questo stadio di sviluppo è il 10%, e ci sono già probabilmente 10 vaccini nei test clinici: questo significa che ne avremo certamente uno”.

Una precisazione: se ho capito bene – in caso contrario correggetemi – il “tasso di successo” non è la percentuale di persone per cui il vaccino in questione funziona, ma la probabilità che il vaccino venga approvato dalle autorità sanitarie: cioè che in genere funzioni e non faccia troppo male. Ma questo è comunque irrilevante dal punto di vista matematico.

Sonia ha preso la frase di Shattock e ha fatto i banali conti matematici alla portata di un qualunque studente, che vi ripropongo qua. Nell’ipotesi migliore abbiamo dieci numeri casuali da 1 a 10, e vogliamo sapere qual è la probabilità che ci sia almeno un 10. Il modo più semplice è lavorare alla rovescia, e calcolare qual è la probabilità che nessuno di quei numeri sia un 10. I conti sono presto fatti: per ciascun numero la probabilità è 9/10, e quindi quella totale è (9/10)^10, pari a circa 0,3487. Dunque avere un vaccino funzionante non è la certezza, ma circa il 65%, cioè 2 casi su 3. Poi è vero che magari di vaccini ne escono due, ma non è che la cosa ci renda così felici. Questo è poi il caso migliore, perché fa un’ipotesi molto forte, oltre a quella del 10% di successo che è in linea con le analisi storiche: che cioè tutti e dieci i vaccini in fase di test sono indipendenti l’uno dall’altro. Possiamo ragionevolmente immaginare che alcuni di essi si basino su assunti simili, e quindi è facile che vadano bene entrambi oppure male entrambi: ma di nuovo non ci guadagniamo troppo ad avere due vaccini, se il rovescio della medaglia è che potremmo non averne nessuno.

L’errore presumibilmente fatto da Shattock, termina Sonia, è confondere il valore atteso (cioè la media dei risultati) con il valore in un singolo caso. L’esempio che fa è quello del lancio di un dado. In media, lanciando il dado 1000 volte, possiamo aspettarci che la somma dei valori usciti sia 3500: sarebbe piuttosto strano ottenere proprio quel totale, ma non ci dovremmo discostare di molto. Ma con un solo lancio possiamo essere certi che non otterremo mai 3,5. Si può capire – ma non giustificare – che un laureato in scienze politiche non si accorga della differenza logica tra i due valori e faccia la divisione 1/0,5 per uscire con i due contagiati: ma da uno scienziato uno non si aspetta certo un errore di questo tipo. Ho il sospetto che dovremo ripensare – non solo in Italia ma anche all’estero – il modo di insegnare la matematica…