I logaritmi

Mi sono informato. Oggi i programmi scolastici dei licei scientifici parlano di logaritmi ma intendono quelli “naturali”, quelli cioè che appaiono naturalmente in analisi matematica. Sono ormai scomparse le tavole logaritmiche, quel libriccino che almeno ai miei tempi veniva sfruttato soprattutto per nascondere al suo interno le formule di trigonometria alla maturità e nessuno sapeva usare bene. Oggettivamente le tavole logaritmiche sono ormai inutili, quando una calcolatrice da dieci euro ha il tasto “log” che dà subito il risultato; e comunque la calcolatrice assolve allo stesso compito per cui i logaritmi “volgari” erano nati. Però fino a quarant’anni fa le cose erano molto diverse, e generazioni di matematici hanno lodato l’invenzione che a detta di Laplace ha raddoppiato la lunghezza della vita degli astronomi.

I logaritmi sono stati inventati da Nepero. Uso l’italianizzazione del cognome latino perché non è affatto certo quale fosse il suo vero cognome: John Napier è stato anche chiamato Nepair, Nepe, Naipper. Nepero nacque in Scozia intorno al 1550, e non era un matematico ma un ricco proprietario terriero che aveva abbastanza tempo lbero per fare di tutto; è stato antipapista, millenarista convinto che il mondo sarebbe finito tra il 1688 e il 1700, commentatore dell’Apocalisse, inventore di una vite idraulica e di progetti di macchine da guerra. Il folklore ha raccontato varie storie sul suo conto, che io ho trovato sul libro di Eli Maor e: the Story of a Number. I piccioni di un suo vicino continuavano a beccare il grano dei suoi possedimenti. Il vicino, deridendolo, gli disse che se riusciva a prenderli avrebbe potuto farne quello che voleva; il giorno dopo i piccioni erano tutti a terra svenuti, dopo che Nepero aveva versato whisky sulle spighe. In un’altra occasione, avendo il sospetto che uno dei suoi servi lo frodasse, comunicò che il suo gallo nero avrebbe magicamente riconosciuto il ladro. La servitù doveva entrare uno alla volta in una stanza oscura e mettere la mano sopra il gallo, che avrebbe cantato quando toccato dal malfattore… ma in realtà il gallo era stato cosparso di polvere di carbone, e Nepero accusò facilmente il servo che uscì con la mano pulita.

Ma torniamo alla matematica: Nepero era appassionato di matematica, ma non era un teorico; più che altro cercava mezzi per semplificare il lavoro degli astronomi, che iniziavano ad avere bisogno di fare sempre più calcoli per ricavare le orbite dei pianeti. (Ah, lo sapevate che la parola “computer” non nacque a metà del ventesimo secolo? Nel Settecento e nell’Ottocento il computer era il tipozzo che doveva fare tutti i conti numerici per i matematici…) La sua prima creazione furono i bastoncini di Nepero (Napier sticks, se volete cercare altre informazioni in rete), delle listelle che semplificavano il compito di fare le moltiplicazioni… compito non esattamente banale quattrocento anni fa. Ma la sua grande idea fu appunto quella di creare i logaritmi. Oggi definiamo il logaritmo come una delle due operazioni inverse dell’elevazione a potenza: se a elevato alla potenza bc, noi possiamo ricavare a come radice b-esima di c oppure possiamo ricavare b come logaritmo in base a di c. Ma con la definizione ci facciamo poco. Il punto importante è la leggina che dice «il prodotto delle potenze (con la stessa base) è la somma degli esponenti (sempre con quella base)». Sarete tutti d’accordo che un’addizione è più facile di una moltiplicazione, no? Ecco qua il seme dell’idea di Nepero; invece che moltiplicare due numeri, si cercano su una tabella predefinita i loro logaritmi, li si somma, e si usa la tabella alla rovescia per ricavare il risultato finale.

le potenze di due su una semiretta

Peccato che le potenze crescano molto, troppo velocemente, e abbiamo dei problemi a fare la nostra tabella. Già fare un disegno non è banale: i primi numeri sono tutti addossati, e poi ci si allontana troppo… Adesso non ci pensiamo più, perché non abbiamo la tabella ma una calcolatrice; fino a quarant’anni fa avevamo le tabelle con le tavole ausiliarie delle “parti proporzionali”; ma tutto questo prevede di usare i numeri con la virgola, che erano già stati introdotti ma non erano ancora ben assimilati. Nepero scelse così di calcolare le potenze di 0,9999999 (1-10−7), o per meglio dire 9999999/10000000; il tutto moltiplicando i risultato per 10000000, in modo da avere numeri interi. Iniziò il suo lavoro nel 1594 e ci passò su vent’anni, giungendo nel 1614 a pubblicare il Mirifici Logarithmorum canonis descriptio, Descrizione del meraviglioso canone dei logaritmi.

L’invenzione – sì, è stata un’invenzione e non una scoperta… – ebbe subito vasta eco; Henry Briggs si fece tutto il viaggio da Londra a Edimburgo per parlare con Nepero, e discusse con lui una possibile miglioria: usare i logaritmi in base 10, perché così era più immediato avere un’idea di quanto grande fosse il numero di cui si ha il logaritmo. Nepero approvò la cosa, ma ormai era vecchio (sarebbe morto nel 1617), così fu Briggs a pubblicare nel 1624 l’Arithmetica logarithmica, tavole con i logaritmi dei numeri da 1 a 20000 e da 90000 a 100000 calcolati a 14 cifre decimali; per due secoli sono state lo stato dell’arte, e i logaritmi di Briggs, o volgari, si sono sparsi per tutta l’Europa e poi per il mondo. Il tutto dimenticando Jobst (o Joost) Bürgi, un orologiaio svizzero, che nel 1588 iniziò a preparare delle tavole logaritmiche usando come base 1+10−4, e moltiplicando i valori ottenuti per 108 per la stessa ragione scelta da Nepero. Queste tavole però vennero pubblicate in forma anonima solo nel 1620 a Praga, e caddero subito nel dimenticatoio: anche quattrocento anni fa pubblicare subito era d’obbligo!

Come ho scritto, il logaritmo volgare di un numero x è il numero a cui elevare 10 per ottenere x. In genere non è un numero intero: la sua parte intera (l’esponente) corrisponde all’ordine di grandezza del numero mentre la sua parte frazionaria (la mantissa) corrisponde alle cifre del numero senza contare la virgola. Il bello di usare la base 10 è che la mantissa del logaritmo di 3,14, di 0,00314 e di 3140 è la stessa, e quindi è più semplice trovarla nelle tavole. La moltiplicazione di due numeri si fa sommandone i logaritmi, la divisione sottraendoli, l’elevazione a una potenza n moltiplicando il logaritmo del numero per n e la radice n-sima dividendolo per n; tutte operazioni fattibili senza troppi sforzi.

regolo calcolatore

Fino a quarant’anni fa esisteva anche un meccanismo analogico per sfruttare i logaritmi: il regolo calcolatore, quello strumento di tortura mostrato sopra. Il suo funzionamento logico di base è semplice; ci sono due serie di tacche con valori corrispondenti ai logaritmi dei numeri, una sul corpo del regolo e l’altra sulla barra scorrevole; sommando le misure corrispondenti si ottiene automaticamente il prodotto… più o meno. Quello che non ho detto, ma di cui vi sarete sicuramente accorti, è che con i logaritmi si ottengono solo risultati approssimati; se il numero di cifre con cui li si calcola è sufficientemente grande, si possono in genere ottenere i risultati corretti nel caso di operazioni con numeri interi, ma spesso questo non è il caso. Il regolo calcolatore, poi, non permette di ricavare più di due o tre cifre significative. E a che servivano allora, mi direte? Non certo per la partita doppia, ma tanto in quel caso bastano somme e sottrazioni, ma per i conti da fare al volo e per cui serve giusto una stima abbastanza accurata del risultato. Non per nulla i regoli erano uno dei simboli degli ingegneri 🙂 Non so se ricordate la scena di Apollo 13 quando il tecnico nella sala controllo a Houston verifica i calcoli fatti da Tom Hanks con il suo regolo…

Un altro uso pratico odierno per i logaritmi – lascio volutamente da parte tutto quello che riguarda la funzione logaritmo che si studia a scuola, magari ne parlo un’altra volta – si ha quando occorre disegnare un grafico dove i valori sono molto diversi tra loro, e quindi non si riuscirebbero ad apprezzare correttamente; oppure dove quello che conta è il rapporto dei valori, e non la loro differenza. In casi come questo risulta più semplice usare una scala logaritmica, in una dimensione come mostrato qui a sinistra oppure anche bidimensionale. Chiaramente le funzioni appaiono assai trasformate da come le conosciamo; per esempio, una retta disegnata sulla carta logaritmica a fianco corrisponde a una curva esponenziale su un foglio usuale di carta millimetrata. Questo non è un problema così grave in pratica, a meno che chi vede il grafico non si accorga del suo formato non standard, e prenda così fischi per fiaschi. La via alla matematica non è mai banale, purtroppo.