Cancella la vuvuzela

Quando la scorsa settimana ho parlato delle vuvuzela, ho commentato come sia facile per un’emittente televisiva eliminare le frequenze emesse dalle trombette, ma non ho specificato nemmeno a grandi linee come si può fare. La magia che permette di fare tutto questo è la trasformata di Fourier, insieme alla sua sorella digitale FFT.

Approssimazioni di un'onda quadra (da Wikipedia)

Approssimazioni di un'onda quadra (da Wikipedia)

Joseph Fourier è stato un matematico e fisico francese vissuto a cavallo del 1800; il suo campo di studi fondamentale era l’equazione del calore, cioè come varia nel tempo la temperatura di un corpo a cui viene applicata una fonte di calore. Fourier considerava una superficie metallica, e sapeva risolvere l’equazione del calore se la fonte di calore si comportava come un’onda sinusoidale. La sua prima idea è stata notare come se si sommavano due o più sinusoidi diverse era ancora possibile trovare la soluzione della sua equazione, semplicemente sommando le soluzioni; la sua seconda e più importante idea fu scoprire che ogni funzione periodica poteva essere espressa come somma (magari infinita) di sinusoidi, e che quindi aveva trovato la soluzione definitiva.

Proprio ogni funzione periodica? Beh, dipende da cosa definiamo per “funzione”. Dal punto di vista di un ingegnere, la risposta è “sì”. Qualunque roba si trovi in pratica, la si può scrivere come quella che viene oggi chiamata serie di Fourier. Dal punto di vista di un matematico, la risposta è “no”. Un matematico specializzato in analisi ti tirerà fuori millanta esempi di funzioni patologiche che non possono essere espresse in serie di Fourier, e si fregherà le mani ogni volta. Dal punto di vista di un fisico, la risposta è “all well-behaved functions”. La definizione di “funzione che si comporta bene” è grosso modo “qualcosa per cui valgano i teoremi che ci interessano in pratica”; non dev’essere necessariamente una funzione, se si rende periodica la delta di Dirac (di cui magari una volta parlerò…) va bene lo stesso, ma il risultato pratico è appunto che se facciamo le cose sul serio e non scherziamo allora la risposta è “sì”.

E la trasformata di Fourier? Ora ci arriviamo. La serie di Fourier dice che per ogni funzione periodica possiamo calcolare quali sono le frequenze, tutte multiple di una frequenza base che corrisponde al periodo della funzione stessa, che la compongono. Se immaginiamo che il periodo sia infinito, cioè si abbia una funziona qualunque, avremo anche un numero infinito di frequenze, ciascuna con la propria intensità; questo viene chiamato lo spettro della funzione. La trasformata di Fourier è un marchingegno matematico che permette di trasformare una funzione che varia nel tempo in una funzione che varia nelle frequenze; tecnicamente si dice che “si passa dal dominio del tempo a quello delle frequenze”. Il bello è che si può poi fare l’operazione inversa: l’antitrasformata di Fourier (che è praticamente identica) riporta la funzione dal dominio delle frequenze a quello del tempo.

La vuvuzela fa un suono che fondamentalmente è musicale, quindi periodico almeno fino a quando il vuvuzelante ha fiato, e quindi il suo spettro avrà dei picchi ben definiti sulle frequenze fondamentali: per eliminare il suono basta fare una trasformata di Fourier, modificare la funzione togliendo quei picchi, e poi rifare l’antitrasformata. Sì, mi direte, ma come si fanno queste modifiche? Non ci crederete, ma non solo esiste una trasformata di Fourier nel caso di una funzione discreta e non continua, ma c’è anche un algoritmo molto efficiente per calcolarla; la FFT, vale a dire la Fast Fourier Transform. Visto che ormai i file audio sono creati in formato digitale, il lavoro da fare è relativamente semplice, e infatti si sono messi in molti a creare i filtri necessari per dare un po’ di requie alle orecchie degli ascoltatori.

Un’ultima curiosità: l’algoritmo della FFT è del 1965, di J.W. Cooley e John Tukey. Ma secondo Wikipedia sembra che il primo ad averlo usato sia stato… Carl Friederich Gauss, che aveva bisogno di fare calcoli astronomici senza una quantità astronomica di conti. Poi uno si chiede perché certa gente la si trova sempre tra i piedi.