Il paradosso di Berry

Oggi, almeno per quanto riguarda la matematica, mi limito al minimo indispensabile: i numeri interi positivi. Lo sapete che tutti i numeri interi sono interessanti? Tanto per iniziare, 1 è interessante per tantissime ragioni, per esempio perché è l’unico intero n il cui inverso 1/n sia intero; 2 è interessante perché tra l’altro è l’unico numero primo pari; 1729 lo è in quanto il più piccolo intero esprimibile come somma di due cubi in due modi diversi, come Ramanujan fece notare a Hardy (le somme sono 103+93 e 123+13), e così via. Se ci fossero dei numeri non interessanti, ci sarebbe anche il più piccolo tra essi. Ma a questo punto non vorreste forse concedermi che un numero con la caratteristica di essere il minore tra i numeri non interessanti è ipso facto interessante? E dopo averlo spostato nella categoria “interessanti”, cosa facciamo del nuovo numero minore tra i non interessanti?

In effetti, la definizione di “numero interessante” è un po’ nebulosa, visto che non esiste un modo univoco per definire interessante una proprietà; quindi questo esempio è solo uno scherzo. Ma le cose non sono così semplici. Iniziamo ad associare a ciascun numero tutte le sue descrizioni, vale a dire le espressioni – aritmetiche e no – che danno come risultato quel numero. Per esempio, 4 lo possiamo descrivere come “quattro”, ma anche come “due più due”, “radice quadrata di sedici”, “il secondo numero pari”, “il numero di semi in un mazzo di carte francesi”, “il doppio dell’unico numero x diverso da zero per cui x+x = x·x“, e chi più ne ha più ne metta.

Supponiamo ora di essere amanti del risparmio, e voler perdere il minor tempo possibile per pronunciare i vari numeri. Visto che approssimativamente ogni sillaba si pronuncia nello stesso tempo, per ogni numero dovremmo scegliere quella con il minor numero di sillabe. Nel caso di 4 direi che “quattro” è imbattibile, però già nel caso di 999.999 piuttosto che dire “novecentonovantanovemilanovecentonovantanove” (venti sillabe) è molto meglio usare la forma “un milione meno uno” (otto sillabe).

In effetti c’è un numero finito di sillabe diverse nella lingua italiana, direi qualche centinaio o al più qualche migliaio. La maggior parte delle “frasi” composte assemblando sillabe a caso non hanno poi senso in italiano; molte delle frasi sensate, come tanto per fare un esempio “il giro del mondo”, non corrispondono a nessun numero. Quindi a maggior ragione per un qualunque numero di sillabe prefissato si possono descrivere solo un numero finito di numeri interi; questo a sua volta significa che esiste il più piccolo intero che non può essere descritto in italiano con meno di quaranta sillabe. Sarà un numero enorme, non avrei nemmeno idea di quanto grande esso possa essere; ma è un numero finito, e con sufficiente pazienza e un universo abbastanza grande lo possiamo calcolare in linea di principio. Ma…

Ma c’è un piccolo problema. “Il più piccolo intero che non può essere descritto in italiano con meno di quaranta sillabe” è indubbiamente la descrizione di un intero. Contate il numero di sillabe della frase: sono trentuno. Ma allora abbiamo trovato una descrizione di quell’intero con meno di quaranta sillabe, e dunque non può essere il più piccolo intero che non può essere descritto con meno di quaranta sillabe. C’è qualcosa che non torna: scosso scosso, sento odor di paradosso!

Il primo ad avere evidenziato questo paradosso è stato nel 1904 un certo G.G. Berry, della Biblioteca Bodleiana di Oxford; non l’ultimo arrivato, insomma. Berry scrisse subito al miglior esperto di paradossi del tempo: Bertrand Russell, quello che aveva tirato fuori l’esempio del barbiere che tagliava la barba a tutti e soli quelli che non se la tagliavano da sé. Russell apprezzò davvero il paradosso, tanto che nei suoi Principia Mathematica Berry fu una delle due uniche persone citate. Fortunatamente, non fu così berrybile riuscire ad addomesticare il paradosso; il trucco è eliminare la possibilità di operare a livelli semantici diversi. Detto in parole povere, nelle descrizioni non si può parlare delle descrizioni stesse. Russell pensava di essere riuscito a mettere tutto a posto con questa gerarchia di descrizioni, salvo venire clamorosamente smentito due decenni dopo; ma questa è un’altra storia.

(Nel capitolo 8 di Anelli nell’io di Douglas Hofstadter trovate un resoconto un po’ più ampio del paradosso di Berry; gli anglofili possono anche leggere questo articolo di Gregory Chaitin)

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