Il paradosso del compleanno

Quante persone ci devono essere in una stanza perché sia più probabile che due di loro siano nate lo stesso giorno?

di Jim Al-Khalili

La fisica del diavolo è un libro di Jim Al-Khalili, docente di fisica teorica all’Università del Surrey, pubblicato in Italia da Bollati Boringhieri, nel quale con una serie di paradossi logico-scientifici l’autore racconta molte cose sulla fisica e sulla scienza. Tra i paradossi – assieme ai più familiari Achille e tartaruga – c’è quello cosiddetto dei compleanni.

Questo è uno dei paradossi veridici più noti. Al contrario dei due esempi precedenti, qui non c’è trucco, non c’è falla nel ragionamento o gioco di prestigio nel modo di raccontare. Potete credere alla soluzione oppure no, ma vi assicuro che è perfettamente corretta e coerente, sia dal punto di vista matematico sia da quello logico. In un certo senso, questa frustrazione rende il paradosso ancora più divertente.

Eccolo qui:

Quante persone ci devono essere in una stanza perché la probabilità che due di loro festeggino il compleanno lo stesso giorno sia maggiore del 50%, ovvero sia più probabile che due di loro condividano lo stesso compleanno piuttosto che tutti siano nati in un giorno diverso dell’anno?

Prima di tutto, applichiamo un po’ di ingenuo buon senso (che naturalmente ci condurrà fuori strada). Dato che ci sono 365 giorni in un anno, immaginiamo di avere un’aula magna con 365 posti a sedere. Cento studenti entrano nell’aula e ciascuno si siede in un posto a caso. Alcuni amici si siederanno vicini, altri preferiranno nascondersi nell’ultima fila per schiacciare un pisolino senza essere notati, mentre i più studiosi si siederanno nelle prime file. Ma in ogni modo, resta il fatto che più dei due terzi dei posti rimarranno vuoti. Ovviamente nessuno studente si siederà in un posto già occupato, ma in ogni caso abbiamo la netta sensazione che non sia tanto probabile che due studenti vogliano esattamente lo stesso posto, visto quanto spazio c’è.

Se ora applichiamo questo ragionamento di buon senso al problema del compleanno, potremmo pensare che la probabilità che due dei cento studenti compiano gli anni lo stesso giorno sia ugualmente piccola, giacché ci sono altrettanti compleanni da scegliere quanti sono i posti a sedere. Magari ci saranno due studenti nati lo stesso giorno, ma intuitivamente pensiamo che la probabilità sia meno del 50%, pensiamo che questo sia meno probabile, rispetto al fatto che tutti siano nati in giorni diversi.

Naturalmente, con 366 persone, non c’è bisogno di spiegare perché siamo sicuri che almeno due siano nate nello stesso giorno. Ma quando il numero di persone si riduce, le cose si fanno interessanti.

In realtà, per quanto sembri incredibile, con sole 57 persone la probabilità che due siano nate lo stesso giorno arriva al 99%. Cioè, con solo 57 persone, siamo quasi certi che due siano nate lo stesso giorno! Questo è già abbastanza difficile da credere. Ma la risposta all’indovinello iniziale: «il numero di persone necessarie perché la probabilità che due festeggino il compleanno lo stesso giorno sia maggiore del 50%» è un numero molto minore di 57. Di fatto ne bastano ventitré!

Molti trovano questa risposta sorprendente a prima vista, e continuano a non crederci fino in fondo anche quando sono rassicurati della sua esattezza, perché intuitivamente è molto difficile da credere. Quindi analizziamo con attenzione la matematica, che cercherò di spiegare il più chiaramente possibile.

1 2 Pagina successiva »

Abbonati al

Dal 2010 gli articoli del Post sono sempre stati gratuiti e accessibili a tutti, e lo resteranno: perché ogni lettore in più è una persona che sa delle cose in più, e migliora il mondo.

E dal 2010 il Post ha fatto molte cose ma vuole farne ancora, e di nuove.
Puoi darci una mano abbonandoti ai servizi tutti per te del Post. Per cominciare: la famosa newsletter quotidiana, il sito senza banner pubblicitari, la libertà di commentare gli articoli.

È un modo per aiutare, è un modo per avere ancora di più dal Post. È un modo per esserci, quando ci si conta.