Dimostrazione geometrica dell’irrazionalità di √2

Una delle “dimostrazioni famose” in matematica è sicuramente quella dell’irrazionalità della radice quadrata di 2, che ha distrutto la teoria pitagorica e forse anche Ippaso di Metaponto e ha dato una svolta a 90 gradi alla matematica greca, che ha deciso di non usare più il concetto di numero come punto di partenza ma basarsi sulla geometria.

La dimostrazione che si legge di solito parte immaginando per assurdo che √2 sia uguale a una frazione a/b, con a e b interi positivi. Senza perdita di generalità possiamo anche supporre che a e b non abbiano fattori comuni, perché in caso contrario possiamo semplificare entrambi i valori. A questo punto, elevando al quadrato i due membri dell’uguaglianza, abbiamo che a²/b²=2, cioè a²=2b², da cui si vede che a² è pari. Poiché il quadrato di un numero pari è pari e il quadrato di un numero dispari è dispari, otteniamo che a è anch’esso pari, e quindi possiamo scrivere a=2c. Sostituendo questo valore e semplificando, abbiamo 2c²=b², e per lo stesso ragionamento di prima vediamo che b deve essere pari, assurdo perché non può avere fattori in comune con a.

Tutto questo va benissimo, se non fosse per una piccola seccatura: questa dimostrazione non è geometrica. Bene: ho scoperto nel libro Le fascinant nombre π di Jean-Paul Delahaye una dimostrazione puramente geometrica, che potete vedere qui sotto.

Il quadrato ABCD ha lato a e diagonale b, che supponiamo entrambi multipli di una lunghezza l. Costruiamo la diagonale BD e la bisettrice dell’angolo CBD che incontra il lato CD in E; da E tracciamo la perpendicolare a BD che lo incontra in H.

I triangoli rettangoli BCE e BHE hanno gli angoli uguali e l’ipotenusa in comune, quindi sono congruenti, e pertanto CE=EH=c. Il triangolo EHD è rettangolo per costruzione, ma è anche isoscele (l’angolo in D è di 45 gradi), pertanto HD=EH e dunque c=ba. Ma EHD è simile a BAD, dunque se definiamo d il segmento DE=ac allora c e d sono lato e diagonale di un quadrato più piccolo di quello con a e b, e sempre multipli della nostra lunghezza unitaria l. Da qui possiamo ricominciare le nostre operazioni e ottenere coppie sempre più piccole di numeri interi positivi fino a scendere sotto la lunghezza l, il che è assurdo. (Per la cronaca, questo tipo di dimostrazione si chiama “per discesa infinita” e piaceva tanto a Fermat…).

Carino, no?