Quando le proporzioni non bastano

Sulla Stampa di oggi, un articolo di Paolo Russo racconta il flop di Immuni. Non entro nel merito delle considerazioni dell’articolo, ma mi interessa far notare un errore matematico che viene spesso commesso da chi non è abituato a trattare le relazioni tra gli oggetti. Come potete leggere nel ritaglio qui sopra, Russo scrive

«Da quando è stata lanciata su tutto il territorio nazionale, il 15 giugno scorso, in Italia si sono contati circa 10 mila contagi, di questi scovati grazie a Immuni appena 47. Fatte le debite proporzioni, calcolando che ad averla installata sul proprio smartphone è il 7,7% della popolazione complessiva, almeno 7-800 casi si sarebbero dovuti attribuire alla app, invece qui siamo allo zero virgola qualcosa.»

Tralasciando le considerazioni varie sul fatto che scaricare l’app non significa installarla e renderla funzionante (senza Bluetooth attivo non funziona…) e dando per scontato il suo corretto funzionamento, c’è ancora qualcosa che non torna. Ve ne siete accorti?

I numeri qui indicati sono il risultato di una proprorzione. Parafrasando, “se tra il 100% della popolazione abbiamo avuto 10000 casi, tra il 7-8% della popolazione i casi dovebbero essere 700-800”. Siamo così abituati a fare proporzioni, e quindi assumere che l’andamento di quello che stiamo misurando è lineare, che non ci facciamo nemmeno caso. Tutt’al più consideriamo importante la variazione rispetto alla proporzione teorica: visto che la Lombardia ha un sesto degli abitanti dell’Italia ma i morti per Covid-19 sono ben più di un sesto, la Lombardia è stata più colpita. Qui però abbiamo una situazione molto diversa.

Il contagio avviene infatti per definizione quando c’è una relazione tra due persone, con una che attacca il virus all’altra. Anche Immuni applica le relazioni, nel suo caso la vicinanza di due persone. Il punto è che quando le percentuali di un campione sono basse, la crescita del numero di relazioni non è per nulla lineare! È lo stesso tipo di processo che si è avuto all’inizio del contagio con il numero di casi di infezione: è partito lenramente perché i focolai erano pochi e separati, fino a che a un certo punto è esploso. Ed è la stessa ragione per cui si cerca la cosiddetta immunità di gregge; lì si procede alla rovescia, perché si blocca il contagio rendendo più difficile la vicinanza tra un infetto e un infettabile, ma il concetto è lo stesso.

Un esempio simile che probabilmente conoscete già è il paradosso dei compleanni. Perché basta prendere 23 persone a caso per avere una probabilità maggiore del 50% di trovarne due nate nello stesso giorno e mese? Perché non consideriamo le singole persone ma le coppie di persone, e qui di la relazione non è lineare ma quadratica. Allo stesso modo, se invece di considerare chi è stato contagiato e avvisato da Immuni (relazione con altre persone) consideriamo chi è stato contagiato e ha Immuni (singole persone) mi aspetto effettivamente che tra i 10000 contagiati ce ne siano 700-800. Vedete che a questo punto i lamenti di chi dice “sono positivo al tampone, ma l’app non mi aveva avvisato” non hanno ragion d’essere; non c’erano abbastanza relazioni per far funzionare il tutto.

Ecco perché si diceva che, per essere davvero utile, Immuni doveva essere scaricsta da tantissime persone. I numeri deludenti dei contagi rilevati non sono colpa dell’app, ma banalmente delle regole matematiche. Ora però non andate a dire che è tutta colpa della matematica…