Reuben Hersh

Pare che sia morto il matematico Reuben Hersh, anche se non sono ancora riuscito a trovare una conferma ufficiale della notizia. Hersh è stato un buon matematico, ma è sicuramente molto più noto come filosofo della matematica: nel suo Che cos’è davvero la matematica?, un titolo che prende in giro il testo di Courant e Robbins molto quotato nel secondo dopoguerra, ha fatto praticamente nascere una nuova branca della filosofia della matematica. Purtroppo il libro è fuori commercio in italiano, e dovete prendere la versione originale. Ma cos’è insomma la matematica? Facciamo un passo indietro.

La matematica è inventata oppure scoperta? Se si pone questa domanda alla maggior parte della gente comune, la risposta sarà tipicamente lo sguardo della mucca quando passa il treno, o al più un “qualunque cosa sia, sarebbe meglio che non ci fosse la matematica”. Ma anche chi fa matematica di solito non si preoccupa della cosa, e bisogna pressarlo perché bofonchi qualcosa. Tagliando con l’accetta, fino a metà del secolo scorso c’erano fondamentalmente tre correnti di pensiero. La più antica è quella del platonismo, che come dice il nome stesso si rifà più o meno al pensiero di Platone. Per il platonismo gli enti matematici esistono indipendentemente da noi, nell’iperuranio. Insomma il numero tre ha la stessa esistenza del concetto di casa; l’unica differenza è che un’istanza di una casa la possiamo toccare, a differenza di un’istanza del numero tre. Tutto quello che dobbiamo fare è insomma scoprire relazioni che sono sempre esistite; non inventiamo nulla. C’è poi il formalismo, che potremmo dire nasce implicitamente con Eulero e viene affinato da Hilbert: per un formalista la domanda è mal posta, perché la matematica non è altro che un insieme di regole formali che danno una serie di risultati. Tutt’al più bisogna verificare che le regole non si contraddicono e abbiano senso, perché altrimenti possiamo “dimostrare” che 1+2+4+8+…=−1. Come dicevo, Hilbert ha fatto un lavorone in questo senso, che noi cataloghiamo come “fondamenti della matematica”, e ha anzi creato le metaregole, cioè le regole per creare le regole del gioco matematico. Il formalismo, e la sottocorrente del logicismo, ha avuto un grande successo all’inizio del Novecento, anche se poi Gödel ha un po’ rotto le uova nel paniere mostrando che non ci si può dare da soli tutte le regole; ha comunque rosicchiato una buona percentuale al platonismo. Infine è arrivato l’intuizionismo, figlio del costruttivismo di Kronecker (“il buon Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”); Brouwer afferma sostanzialmente che noi dobbiamo essere in grado di trovare una dimostrazione costruttiva di un teorema, e tutto il resto è fuffa, a partire dal principio del terzo escluso nel caso di insiemi infiniti o anche solo troppo grandi per essere umanamente gestibili. L’intuizionismo non ha mai preso davvero piede se non in alcune nicchie, perché molti matematici si sentono in gabbia con i suoi rigidi limiti.

Fin qui tutto relativamente chiaro: si fa per dire, come potete notare leggendo Wikipedia, o se avete abbastanza coraggio la Stanford Encyclopedia of Philosophy. Ecco però che arriva Hersh. Forse perché si è avvicinato tardi alla matematica (prima del Ph.D. in matematica si era laureato in letteratura inglese…), la vede come qualcosa di reale ma di una realtà socio-storico-culturale: insomma la matematica è un prodotto del nostro essere umani, tanto che assieme a Philip Davis parla di “umanesimo matematico”. Citando dalla traduzione di Rosalba Giomi di Cos’è davvero la matematica?, «La matematica è come il denaro, la guerra o la religione: non è né fisica né mentale, ma sociale.» (pag. 382. Trovate altre citazioni sul mio sito.) Perché, dice Hersh, i matematici accettano le tipiche dimostrazioni che sono tutt’altro che formalisticamente complete? Semplice: perché la comunità dei matematici, avendo creato la matematica, si trova in accordo nel comprendere il testo indipendentemente dalla sua correttezza formale. Da qui è nata tutta una nuova corrente filosofica, in cui possiamo anche annoverare Lakoff e Núñez con il loro Where Mathematics Comes From e la matematica “embodied” (ve l’ho detto, sto tagliando con l’accetta…) e che ha rapidamente preso piede, soprattutto tra chi si occupa di didattica della matematica e si trova a che fare con la vita reale.

Chi non era assolutamente d’accordo con questa visione era Martin Gardner, che vi ricordo era laureato in filosofia e soprattutto era un fiero platonista (oltre che un teista, cosa che tipicamente aiuta in questo caso). Grazie a Shecky Riemann ho potuto rileggere la sua recensione di What Is Mathematics, Really? e la (malformattata, ma meglio che niente) risposta di Hersh, pubblicata nel volume 23 numero 2 di “The Mathematical Intelligencer”. Inutile rimarcare che le due posizioni erano troppo distanti tra loro per poter trovare non dico un punto di convergenza, ma persino un terreno comune di discussione.

Per i curiosi, io sono sempre stato un platonista, salvo un’infatuazione giovanile per il formalismo. L’unica differenza è che non sono un platonista duro e puro: gli enti matematici per me sono reali, ma “noi” (inteso come esseri senzienti, eventualmente anche alieni) non dobbiamo necessariamente vederli allo stesso modo. Prendiamo l’esempio su cui Gardner e Hersh si sono accapigliati, i numeri primi. Che 41 e 43 siano numeri primi è indubitabile. Quello su cui eventualmente si può dubitare è se si possa fare matematica senza considerare poi così importanti le proprietà dei numeri primi, esattamente come oggi non siamo interessati ai numeri poligonali a differenza dei greci. L’esempio vi sembra piuttosto arzigogolato? Bene, prendiamo allora i numeri complessi. Tecnicamente possiamo definirli come un’estensione del campo dei numeri reali che risulti chiuso rispetto all’estrazione di radice quadrata. Ma Cardano e Bombelli li pensavano semplicemente come utili artifici per arrivare alla soluzione di alcuni problemi, roba quindi “immaginaria”; Gauss e Argand hanno tirato fuori l’idea di un numero complesso (di modulo 1) come rotazione in un piano; oppure li si può vedere da un punto di vista trigonometrico, come racconta in questo libro Peter Higgins. I numeri complessi non cambiano, né cambiano le loro regole; cambia il modo in cui i matematici li vedono. Ma persino i numeri reali “esistono”, almeno per chi non è costruttivista, per una nostra scelta volontaria di cosa usare in matematica (il principio di Archimede, per chi fosse curioso). Gli infinitesimi di Abraham Robinson esistono esattamente come gli altri numeri reali; semplicemente sono un altro tipo di ente matematico che preferiamo di solito non studiare.

In definitiva, è utile ricordarsi che siamo noi a scegliere la matematica che studiamo, ma non per questo dobbiamo negare l’esistenza di una matematica al di fuori di noi. Un teorema è dimostrabile (dato un insieme di assiomi di partenza…) anche se nessuno l’ha ancora concepito, esattamente come un albero che cade in una foresta fa un rumore anche se non c’è nessuno ad ascoltarlo. Voi che ne pensate?