Quizzini per Natale 2018

Che Natale sarebbe senza i quizzini del Post? Le risposte tra una settimana. Gli ultimi due sono più difficili, magari poi posterò un aiutino ;-)

1. Non essere ottusi

Considerate tutti gli insiemi I di cento numeri interi positivi distinti con la seguente proprietà: dati tre qualunque elementi a, b e c in I, il triangolo di lati a, b, c non è mai ottusangolo. Se S(I) è la somma dei perimetri di tutti i possibili triangoli diversi formati da tre elementi (non necessriamente distinti) di I, qual è il suo valore minimo?
(Se gli elementi di I fossero {100, 101, … 199} un triangolo di lati 100, 100, 100 è da contare, così come uno di lati 100, 100, 101)

2. Un primo di mezzo
Sia p un numero primo. Trovate le soluzioni (relative a p) intere (positive, negative o nulle) dell’equazione p(x+y)=xy. (Ricordo che 1 non è un numero primo, e tantomeno lo è 0)

3. Massimo comun divisore
I numeri naturali a e b sono tali per cui ((a+1)/b)+((b+1)/a) è intero. Se d è il massimo comun divisore tra a e b, dimostrate che d ≤ √(a+b).

4. Baricentro
Sia G il baricentro del triangolo ABC. Dimostrate che se AB + GC = AC + GB allora il triangolo è isoscele.

5. Spioni
Nell’isola di Spiolandia ci sono 16 agenti segreti. Ciascuno di essi spia almeno uno dei suoi colleghi; se poi un agente A spia un agente B, allora l’agente B non spia l’agente A. Inoltre dato un qualunque insieme di dieci agenti A1, A2, A3, …, A10, è possibile ordinarli in una catena in modo che il primo spii il secondo, il secondo il terzo, e così via, fino al decimo che spia il primo. Dimostrate che allora esiste una catena simile anche con 11 agenti qualunque.

jjj

Abbonati al

Dal 2010 gli articoli del Post sono sempre stati gratuiti e accessibili a tutti, e lo resteranno: perché ogni lettore in più è una persona che sa delle cose in più, e migliora il mondo.

E dal 2010 il Post ha fatto molte cose ma vuole farne ancora, e di nuove.
Puoi darci una mano abbonandoti ai servizi tutti per te del Post. Per cominciare: la famosa newsletter quotidiana, il sito senza banner pubblicitari, la libertà di commentare gli articoli.

È un modo per aiutare, è un modo per avere ancora di più dal Post. È un modo per esserci, quando ci si conta.