Risposte ai problemini di Natale 2013

Non avete risolto i problemini di Natale? Nema problema: ecco qui le risposte.

1. Somme di tre quadrati

La proprietà si dimostra per induzione, ma in maniera un po’ peculiare. Infatti, se sappiamo che esistono tre numeri x, y, z tali che 9·2m = x2 + y2 + z2, allora 9·2m+2 = 4(x2 + y2 + y2) = (2x)2 + (2y)2 + (2z)2. Con i due passi iniziali m=0 e m=1 abbiamo la nostra tesi.

(il problema originale)

Post Scriptum: Stefano Bonaccorsi dà una dimostrazione più carina. Scriviamo il numero in base 2: sarà 1001 seguito da un certo numero di zeri. I casi possibili sono dunque, dividendo le cifre del numero in coppie: 10|01|00|…|00 oppure 1|00|10|00|…|00. In ciascun caso possiamo scrivere il numero come la somma di 1|00|…|00 (un quadrato perfetto) e 10|00|…|00 (la somma di due quadrati perfetti uguali).
Il bello di questa dimostrazione è che la si applica pari pari al dimostrare per esempio che i numeri della forma 129m2 sono esprimibili come somma di tre quadrati.

2. Lettura del pensiero

Una possibile domanda di Barbara che non coinvolga matematica troppo avanzata è “Anch’io sto pensando un numero, che è 0 oppure 1. La somma dei nostri numeri è maggiore di 2?” Se Andrea ha pensato 1, la risposta è “no”. Se ha pensato 3, la risposta è “sì. Se ha pensato 2, la risposta è “non so”.

(il problema originale)

3. Sequenza

Il numero successivo (come del resto tutti i numeri successivi) è 27. Infatti ogni termine della sequenza è ottenuto sommando le cifre di quello precedente e triplicando il risultato.

(il problema originale)

4. Quadrati ripieni

I numeri della successione sono i quadrati di 7, 67, 667, 6667… La seguente serie puramente algebrica di uguaglianze dà la soluzione.

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Per curiosità, sembra che il problema sia apparso per la prima volta nel numero di ottobre 1889 del Journal de Mathématiques Elémentaires, ed è attribuito a tal F. Briganti della “Ecole de industrielle” di Fermo.

(il problema originale)

5. Vero o falso?

Se B mente, allora C deve dire la verità, e quindi A deve mentire, il che è assurdo perché allora B dovrebbe dire la verità.
Quindi B dice il vero, e dunque C mente. Notate che il fatto che C menta non ci dice nulla di A; però visto che A dice che B mente è chiaro che anche A mente.
Pertanto A e C mentono, e B dice la verità.

(il problema originale)