Problemini di Natale 2013

È Natale, tutti sono più buoni… tranne mi sa il sottoscritto. Stavolta i problemini – presi da math.stackexchange – sono in effetti più complicati del solito: magari ci scapperà un aiutino. Le soluzioni, come sempre, il 31 dicembre.

1. Somme di tre quadrati

Dimostrate che per ogni intero non negativo m, il numero 9·2m è esprimibile come somma di tre quadrati (di interi positivi).

Aiutino: per m=0, 9·2m = 9 = 22 + 22 + 12; per m=1, 9·2m = 42 + 12 + 12. (l’aiutino è aver messo entrambi i casi!)

2. Lettura del pensiero

Due matematici, Andrea e Barbara, fanno un gioco. Andrea pensa a un numero scelto tra 1, 2, 3; Barbara fa una sola domanda alla quale Andrea può rispondere (correttamente) solo “sì”, “no” oppure “non so”, e a questo punto Barbara è in grado di conoscere il numero pensato da Andrea. Quale può essere una domanda possibile? (ce ne sono tante, intendiamoci!)

3. Sequenza

Secondo voi, qual è il termine successivo di questa sequenza numerica?
59, 42, 18, 27, …

4. Quadrati ripieni

Dimostrate che i numeri della successione 49, 4489, 444889, 44448889, … (a ogni passaggio si aggiunge un “48” in mezzo) sono tutti quadrati perfetti.

5. Vero o falso?

Nell’isola di Problemandia, ci sono due tipi di persone: quelli che dicono sempre la verità, e quelli che mentono sempre. Tre persone (A, B, C) stanno parlando: A dice che B mente, B dice che C mente, C dice che sia A che B mentono. Chi è che dice la verità e chi è che mente?

(aiutino: se C dice il falso, tutto quello che sappiamo è che A e B non mentono entrambi)