Risposte ai problemi di Natale 2012

Se non siete ancora riusciti a risolvere i problemi di Natale, non preoccupatevi: le soluzioni sono qui sotto.

1. Somme
Perché 2013 sia somma di un numero dispari di interi positivi, questo numero deve essere un suo fattore: con i fattori 3, 11, 33, 61 si ottengono rispettivamente le somme 670+671+672, 178+179+…+188, 45+46+…+77, 3+4+…+63. Inutile proseguire, perché con fattori superiori si avrebbero numeri negativi nella somma.
Perché 2013 sia somma di un numero pari 2k di interi positivi, occorre che sia divisibile per k. I valori possibili sono pertanto 6, che dà 333+334+335+336+337+338 e 22, che dà 81+82+…102.
Se accettiamo anche interi negativi nelle somme, la risposta è molto semplice: ci sono otto casi di somme di un numero dispari di termini, e altri otto con un numero pari di termini, in totale 16.

2. Moltiplicazioni
Se fattorizziamo 2013, otteniamo 3×11×61. Per la stessa ragione – che poi è il principio dei cassetti – per cui in 2013 numeri consecutivi c’è sempre un multiplo di 2013, se prendiamo 61 numeri consecutivi ne avremo sicuramente uno multiplo di 61, uno multiplo di 11 e uno multiplo di 3 e quindi il prodotto sarà multiplo di 2013. In compenso, il prodotto dei numeri da 1 a 60 non è multiplo di 61, e quindi nemmeno di 2013. Il numero N da noi cercato è pertanto 61.

3. Fattori
Qwfwq e il suo maestro vivono in un pianeta che non usa la nostra usuale base di numerazione 10. Ci sono due soluzioni: se usano la base 4, il numero che loro chiamano 2013 equivale nella nostra base a 2×64+1×4+3, cioè 135, che si fattorizza come 33×5, mentre se usano la base 6 il numero è 2×216+1×6+3, cioè 441, che si fattorizza come 32×72. Ma naturalmente 5 in base 4 e 7 in base 6 si scrivono 11… e tutto torna!
(Avete notato tra l’altro come il criterio di divisibilità per 11 sia lo stesso in entrambe le basi? questo non è affatto un caso. Insomma, 2013 è sempre divisibile per 11, in qualunque base sia scritto)

4. Lettura
Il problema non ha soluzione! Ci sono infatti 9 numeri di pagina a una cifra, e 90 a due cifre, per un totale complessivo di 189 cifre. Per arrivare a 2013 restano altri 1824 numeri, che diviso per 3 fa 608; partendo da 100, arriviamo pertanto a 707 pagine. Peccato che un libro abbia necessariamente un numero pari di pagine…

5. Contare sulle dita
Se si esclude il primo conteggio, a ogni giro Cecilia aggiungerà 11 al suo totale (dodici falangi meno quella di partenza). Quindi si toccherebbe la falange del mignolo nei multipli pari di 11 e quella dell’indice nei multipli dispari di 11, come per l’appunto 2013. Però nel primo conteggio si usa un numero in più, quindi in realtà il 2013 corrisponderà alla falangina dell’indice.