Risposte ai problemi di Natale 2012

Se non siete ancora riusciti a risolvere i problemi di Natale, non preoccupatevi: le soluzioni sono qui sotto.

1. Somme
Perché 2013 sia somma di un numero dispari di interi positivi, questo numero deve essere un suo fattore: con i fattori 3, 11, 33, 61 si ottengono rispettivamente le somme 670+671+672, 178+179+…+188, 45+46+…+77, 3+4+…+63. Inutile proseguire, perché con fattori superiori si avrebbero numeri negativi nella somma.
Perché 2013 sia somma di un numero pari 2k di interi positivi, occorre che sia divisibile per k. I valori possibili sono pertanto 6, che dà 333+334+335+336+337+338 e 22, che dà 81+82+…102.
Se accettiamo anche interi negativi nelle somme, la risposta è molto semplice: ci sono otto casi di somme di un numero dispari di termini, e altri otto con un numero pari di termini, in totale 16.

2. Moltiplicazioni
Se fattorizziamo 2013, otteniamo 3×11×61. Per la stessa ragione – che poi è il principio dei cassetti – per cui in 2013 numeri consecutivi c’è sempre un multiplo di 2013, se prendiamo 61 numeri consecutivi ne avremo sicuramente uno multiplo di 61, uno multiplo di 11 e uno multiplo di 3 e quindi il prodotto sarà multiplo di 2013. In compenso, il prodotto dei numeri da 1 a 60 non è multiplo di 61, e quindi nemmeno di 2013. Il numero N da noi cercato è pertanto 61.

3. Fattori
Qwfwq e il suo maestro vivono in un pianeta che non usa la nostra usuale base di numerazione 10. Ci sono due soluzioni: se usano la base 4, il numero che loro chiamano 2013 equivale nella nostra base a 2×64+1×4+3, cioè 135, che si fattorizza come 33×5, mentre se usano la base 6 il numero è 2×216+1×6+3, cioè 441, che si fattorizza come 32×72. Ma naturalmente 5 in base 4 e 7 in base 6 si scrivono 11… e tutto torna!
(Avete notato tra l’altro come il criterio di divisibilità per 11 sia lo stesso in entrambe le basi? questo non è affatto un caso. Insomma, 2013 è sempre divisibile per 11, in qualunque base sia scritto)

4. Lettura
Il problema non ha soluzione! Ci sono infatti 9 numeri di pagina a una cifra, e 90 a due cifre, per un totale complessivo di 189 cifre. Per arrivare a 2013 restano altri 1824 numeri, che diviso per 3 fa 608; partendo da 100, arriviamo pertanto a 707 pagine. Peccato che un libro abbia necessariamente un numero pari di pagine…

5. Contare sulle dita
Se si esclude il primo conteggio, a ogni giro Cecilia aggiungerà 11 al suo totale (dodici falangi meno quella di partenza). Quindi si toccherebbe la falange del mignolo nei multipli pari di 11 e quella dell’indice nei multipli dispari di 11, come per l’appunto 2013. Però nel primo conteggio si usa un numero in più, quindi in realtà il 2013 corrisponderà alla falangina dell’indice.

Maurizio Codogno

Matematto divagatore; beatlesiano e tuttologo at large. Scrivo libri (trovi l'elenco qui) per raccontare le cose che a scuola non vi vogliono dire, perché altrimenti potreste apprezzare la matematica.