Risposte ai problemini per Ferragosto 2012

Ecco le risposte ai problemini della settimana scorsa!

1. Teletrasporto

Anche se sembra incredibile, l’ingresso nel Canale di Panama dall’Atlantico è più a ovest di quello dal Pacifico: controllate pure su un atlante. Pertanto è naturale che dopo un’ora dall’uscita dal canale ci si trovi (ancora) nell’Oceano Pacifico!

2. Giro del cavallo in edizione ridotta

Non è possibile un giro rientrante. Un giro completo è invece possibile: 1 – 8 – 3 – 4 – 11 – 6 – 7 – 12 – 5 – 10 – 9 – 2.

3. Crimine efferato

È vero che la probabilità che una persona presa a caso abbia una compatibilità con il test del DNA è una su un milione. Ma quello che noi dobbiamo calcolare è la probabilità condizionata che l’imputato abbia commesso il crimine sapendo che il DNA coincide. Visto che sono dieci le persone con la stessa compatibilità, la probabilità condizionata vale 1 su 10, cioè il 10%.
Se non ci sono altri indizi a carico dell’imputato, direi che la colpevolezza non è “al di là di ogni ragionevole dubbio”…

4 Calzini spaiati

La probabilità è esattamente la stessa, e questo vale per qualunque numero pari di calzini. La dimostrazione si ottiene per induzione. Con due calzini la cosa si vede facilmente: c’è una possibilità su quattro che siano entrambi bianchi, una su quattro che siano entrambi blu, e due su quattro che siano di colori diversi.
Nel caso generale, iniziamo a notare come al più si possa avere una sola coppia di calzini spaiati. Supponiamo ora che sappiamo che con 2N calzini la probabilità che siano tutti accoppiati sia 1/2, e vediamo cosa succede nel caso 2N+2. In un caso su due i 2N calzini sono tutti accoppiati, e abbiamo visto sopra che gli altri due saranno appaiati nella metà dei casi e spaiati nell’altra metà. Nell’altro caso i conti sono opposti: se i due nuovi calzini sono spaiati si appaieranno, mentre se erano in coppia ci rimarranno i due calzini iniziali.

Ma è molto più semplice, come scritto da Fabrizio nei commenti, considerare cosa succede con 2N-1 calzini! Ce ne sarà uno e uno solo spaiato: devono essere un numero dispari, e presi tre calzini due devono per forza accoppiarsi. Aggiungendo l’ultimo, i casi sono due ed equiprobabili: è dello stesso colore di quello spaiato oppure no.

5. Caramelle per tutti

Dimostrerò un risultato più generale: per un qualunque numero di persone n e di caramelle iniziali P, se tutti hanno un numero pari di caramelle, a ogni passo ne danno metà al vicino di destra ed eventualmente ricevono una caramella per averne un numero pari, prima o poi tutti ne avranno lo stesso numero.
Innanzitutto vediamo che il numero massimo di caramelle che ha una singola persona non può crescere da un passo all’altro. Infatti se a un certo passo questo numero è C, chi ha C caramelle al passo successivo non ne può avere di più, e chi ne aveva meno di C al massimo ne avrà C (nel caso ne avesse C-2, e il vicino di sinistra C; in questo caso viene assegnata una caramella)
In secondo luogo, supponiamo che a un certo passo il numero minore di caramelle per una persona sia c. Se c’è una sola persona che ha c caramelle, al passo successivo tutti ne avranno di più: se ce ne fosse più di una, prendiamo una catena di persone consecutive con c caramelle. A meno che la catena non sia formata da tutte le persone (ma allora abbiamo dimostrato la tesi), quella più a sinistra al turno successivo avrà più di c caramelle. Quindi il numero totale di persone con c caramelle diminuirà, e si tornerà al passo precedente. Pertanto, fintantoché tutte le persone non hanno lo stesso numero di caramelle la ridistribuzione continuerà.