Problemini natalizi – 2011

Come l’anno scorso, ecco alcuni problemi per farvi divertire durante le festività natalizie. Le soluzioni verranno pubblicate a san Silvestro.

1. Quadratura dell’anno

Riuscite prima di Capodanno a trovare per quali interi positivi x e y si ha x2+y2 = 2011? E per portarvi avanti col lavoro: per quali interi positivi x e y si ha x2+y2 = 2012?

2. Dadi equi

Supponete di lanciare per due volte due dadi e sommare i risultati ottenuti. Se dopo il primo lancio si è ottenuto 5, qual è il valore più probabile che si otterrà alla fine? No, non è 10 ma 12, perché come ben sapete il valore più probabile che si ottiene lanciando due dadi è 7, e cosa è successo al primo lancio è ininfluente. Ma se vi foste scocciati di questa intrinseca disuguaglianza, sareste in grado di associare alle facce dei due dadi dei valori interi non negativi che permettano di ottenere i risultati da 1 a 12 in modo equiprobabile? I due dadi possono avere valori diversi, e si può usare lo zero (altrimenti come fareste a ottenere 1 sommando due numeri interi?)

3. In un certo senso, matematico

Qual è la regola che mi ha permesso di suddividere l’alfabeto (inglese: ho chiamato mio figlio Jacopo, penserete forse che io usi l’alfabeto a 21 lettere?) maiuscolo in questi due insiemi di lettere?

 ABEHIKMNOPTXYZ
 CDFGJLQRSUVW

4. Successione crescente

Wittgenstein un giorno affermò che non ha senso scrivere i primi termini di una successione e chiedere “Qual è il termine successivo?”, dato che per un qualsiasi valore è possibile trovare una successione – basta anche solo un polinomio – che prosegue con quel valore. Ma Wittgenstein era un rompipall… un filosofo, e un matematico in genere ha un senso estetico che gli permette di trovare la soluzione “più elegante”. Volete cimentarvi con questa successione, e trovare quello che per voi è il miglior termine successivo?

 1, 8, 10, 11, 13, 15, …

5. Giusta suddivisione

Con otto fiammiferi ho costruito un recinto quadrato, di lato 2×2. Aggiungendo quattro fiammiferi, come posso dividerlo in due parti della stessa forma e area? I fiammiferi non possono avere vertici “penzolanti”.