Come confondere un matematico

Su Twitter, James Propp ha scritto un thread su come confondere un matematico, soprattutto se esperto di teoria dei giochi, dandogli da risolvere un facile problema: il gioco della tavoletta di cioccolato. Si parte con appunto una tavoletta di cioccolato (che possiamo modellare come un rettangolo m×n) e due giocatori. Il primo giocatore spezza la tavoletta su una riga o colonna a piacere, ottenendo due tavolette più piccole: i due giocatori a turno prendono uno dei pezzi rimasti (tranne i singoli quadratini, per ovvie ragioni) e lo spezza in due parti. Chi non trova più pezzi da spezzare ha perso.

Propp fa poi notare al malcapitato che se uno dei due lati della tavoletta ha un numero pari di quadretti allora il primo giocatore ha una strategia vincente: alla sua prima mossa divide la tavoletta a metà. A questo punto si limita a “copiare” le mosse dell’altro, lasciando sempre una configurazione simmetrica: è ovvio che avrà sempre una mossa a disposizione dopo quella dell’avversario. Arriva dunque la domanda fatale: e se entrambi i lati della tavoletta hanno un numero dispari di quadretti?

Una tavoletta da dividere (da FreeSVG)

Mentre pensate alla risposta – che troverete in fondo al post, non preoccupatevi – ecco qualche considerazione. Quando a scuola ci danno i problemi da risolvere, essi sono tipicamente sulla parte del programma che abbiamo appena studiato. Questo significa che uno studente non troppo brillante ma sistematico si può mettere con santa pazienza ad applicare le ultime regole che ha fatto ed arrivare alla soluzione. Un metodo come questo funziona molto bene quando si sa appunto a priori cosa si deve fare: ma nella vita di tutti i giorni può dare dei problemi, un po’ come nella famosa battuta per cui se hai in mano un martello tutto quello che vedi in giro ti sembra un chiodo. Il vero guaio è che il nostro cervello è cablato per lavorare in quel modo, perché è comunque molto meno faticoso: Propp sfrutta questa caratteristica e mette il suo interlocutore su una falsa traccia. Quello che dice è vero: nel caso di un lato pari c’è una strategia che sfrutta la simmetria – uno dei cavalli di battaglia dei matematici – per arrivare alla vittoria. Ma la simmetria in questo caso non è per nulla necessaria. Anzi, in un certo senso per arrivare alla soluzione non occorre seguire nessuna strategia! Siete riusciti a trovare la soluzione? No? Beh, a parte comprarvi il mio vecchio Matematica in relax che tra gli altri problemini conteneva anche questo, potete leggerla qui sotto.

La chiave di volta per rispondere al problema è che ogni volta che si divide in due un pezzo della tavoletta si crea un pezzo in più. Il gioco termina quando ci sono tanti pezzi quanti quadretti aveva la tavoletta, cioè mn; e ci sono state mn−1 mosse (si parte da un pezzo, non da zero). Quindi se entrambi i lati sono dispari il numero di mosse possibili è pari e vincerà il secondo giocatore. Notate appunto che non c’è nessuna strategia: qualunque siano le mosse fatte il risultato è univoco. Carino, no? Naturalmente questo è il vero problema di fare ricerca in matematica: non solo non sappiamo la risposta ai quesiti che ci sono posti, ma spesso non sappiamo nemmeno quale sia la domanda giusta da farsi. Per fortuna la maggior parte di noi non ha di questi problemi…