Risposte ai problemini per Natale 2020

Ed eccoci qua con le risposte ai problemini. Alcuni erano facili, altri proprio no…

1. Generiamo il 2021

Ecco le soluzioni:
2021 = 12×(3×4 + 5 + 6)×7 + 89
2021 = (9×8 + 7 + 6)×5×4 + 321

Tratto da un paper di Inder Jeet Taneja

2. Le cifre dei quadrati

Non ce n’è nessuno! Infatti se un numero non è multiplo di 3 non lo è nemmeno il suo quadrato, e quindi la somma delle sue cifre non può essere 21 che è un multiplo di 3; se invece lo è allora il suo quadrato è un multiplo di 9, e dunque la somma delle sue cifre deve essere un multiplo di 9.

Tratto da Math Stackexchange

3. Il potere del 7

L’ultima cifra di a₂₀₂₁ è 7. Per trovarla, basta calcolare l’ultima cifra di ogni potenza: ma visto che l’ultima cifra di una quinta potenza è uguale all’ultima cifra del numero, in pratica basta guardare al cubo. Il cubo di 7 è 343, quindi l’ultima cifra di a₂ è 3; il cubo di 3 è 27, quindi l’ultima cifra di a₃ è 7. Le ultime cifre si alterneranno tra 3 e 7, e al passo 2021 avremo appunto un 7.

Tratto da Judita Cofman, What to Solve? OUP 1990, pag. 23

4. Né somme né differenze

Definiamo [k] la classe dei resti di k modulo 2021. Il mio insieme contiene un numero da ciascuna delle classi [0], [1], [2], … [1009], [1010]. Per costruzione, né la somma né la differenza di due di questi numeri è divisibile per 2021. Se ora prendiamo un altro numero qualunque, o è nella stessa classe di uno di quelli già presenti, e allora la loro differenza è divisibile per 2021; o è in una classe diversa, e allora ci sarà un elemento che sommato ad esso darà un numero multiplo di 2021. Quindi il mio insieme ha 1011 elementi.

Tratto da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, Scienza Express 2019, problema 6.7

5. Cinque, sette, due

Sia n il numero iniziale, e m=5n quello finale. Chiaramente m termina per 5. Ora i casi sono due: o comincia per 7 o per 2. Calcoliamo ora m/5, cioè n. Se la prima cifra di m è 7, quella di n sarà 1 con resto di 2; da lì in poi ogni volta che c’è un 7 avremo un risultato 5 con resto di 2, mentre quando c’è un 2 avremo un risultato 4 con resto di 2. Infine il 5 finale darà un 5. In totale, pertanto, avremo 1 + 1009·5 + 1010·4 + 5 = 9091. Se invece la prima cifra di m è 2, all’inizio avremo comunque uno zero; poi il conto rimane lo stesso. Avremo pertanto 1010·5 + 1009·4 + 5 = 9091. In ogni caso la somma delle cifre di n è 9091.

Tratto da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, Scienza Express 2019, problema 6.12