Obituary: Mitchell Feigenbaum

Il 30 giugno scorso è morto per un attacco cardiaco il fisico matematico Mitchell Jay Feigenbaum. (Grazie a Carlo Nardone per la segnalazione!) Il nome forse non vi dirà molto, ma è stata una delle poche persone ad avere una costante matematica chiamata in suo nome. Ma forse è meglio fare un passo indietro.

La mappa delle biforcazioni logistiche (da Wikimedia Commons)

Consideriamo la mappa logistica definita dalla funzione f(x) = ax(1−x) per x compreso tra 0 e 1. Per i curiosi, la mappa logistica si chiama così perché è una cruda approssimazione di un sistema preda-predatore: in pratica, più prede ci sono al tempo t più i predatori possono mangiarle e ridurle di numero; ma a questo punto i predatori non hanno più cibo e muoiono a loro volta, permettendo alle prede di ritornare a crescere in numero. Fissiamo ora un valore a, prendiamo come valore iniziale x=1/2 e iteriamo la funzione per vedere l’effetto che fa.

Se a è minore di 1, i valori iterati tendono a zero. Se a è maggiore di 4, i valori vanno all’infinito: insomma questi casi non sono così interessanti. Se a è compreso tra 1 e 3, le successive iterazioni tendono a un valore limite che per la cronaca è (a−1)/a, come spiega Mauro Fiorentini. Appena superato 3, la situazione cambia: i numeri che otteniamo ora oscilleranno tra due valori distinti. Questo fino a che a≤1+√6, cioè 3,4494897 circa. Da lì in poi l’oscillazione sarà tra quattro valori distinti; proseguendo, si trova un altro punto critico, per a circa uguale a 3,5440903 oltre il quale i valori di oscillazione saranno otto; si passa poi sempre più velocemente ad averne sedici, poi trentadue… fino a un valore limite di a, pari a circa 3,5699456719, dopo il quale c’è il caos, come raffigurato nella figura qui sopra. La teoria del caos, dopo i primi suoi inizi con Poincaré, parte proprio da queste considerazioni. Bene: Feigenbaum, che come racconta il New York Times da studente di dottorato tendeva a pubblicare poca roba di fisica ma era un tipo molto curioso, prese una calcolatrice e calcolò il rapporto tra le differenze dei valori successivi di a in cui capitava il raddoppio del numero di valori di oscillazione, scoprendo che tale rapporto tende a un valore costante, 4.669201609102990671853203821578…. Fin qua nulla di così speciale: ma poi si scoprì che quel “valore di biforcazione” compariva in moltissimi altri casi, come per esempio nel frattale di Mandelbrot (il foruncolone con i foruncolini, per gli amici), e quindi aveva un suo significato intrinseco proprio come π ed e. Da qui la scelta di chiamare quel valore “costante di Feigenbaum”, anzi prima costante, perché ce n’è anche una seconda. Se guardate le biforcazioni nella figura in alto, vedete che l’ampiezza dei due “denti” di biforcazione è diversa. Però al proseguire delle biforcazioni il rapporto tra le due ampiezze vicine relative tende al valore 2.502907875095892822283902873218… che è per l’appunto la seconda costante.

Leggendo l’articolo sul NYT ho scoperto che tra le idee che ha avuto Feingenbaum ce n’è stata una a prima vista ben lontana dalla matematica o dalla fisica: come inserire i nomi dei luoghi in una mappa in modo che siano leggibili e non troppo distanti dall’oggetto che raffigurano? Semplice: si associano cariche elettriche a luoghi e parole, e si vede come attrazioni e repulsioni si combinano per ottenere il risultato. È bellissimo, se ci pensate: un’applicazione di una proprietà fisica che più o meno tutti conosciamo a un concetto apparentemente del tutto diverso. Credo che siano questi i segni del genio: riuscire a vedere similarità in campi distantissimi.