Congetture piuttosto inutili [Pillole]

John Horton Conway ha proposto cinque problemi, o se preferite cinque congetture, e ha promesso 1000$ a chi ne riesce a risolvere una. Essendo una persona furba, ha anche detto che le soluzioni devono essergli inviate per posta cartacea, ma questo esula dal contenuto del post. I curiosi possono leggere quali sono le congetture sul sito OEIS, dove si può vedere che l’ultima congettura è stata risolta.

Conway prendeva un numero e lo scomponeva in fattori nel modo “naturale”, scrivendoli tutti in ordine crescente e raggruppando tutti quelli uguali, oltre a eliminare il fattore 1. Quindi per esempio 60 = 2²·3·5. Ora Conway “appiattisce” il numero, abbassando gli esponenti e togliendo i segni di moltiplicazione; arriva così a 2235. Fattorizzato a sua volta, il numero si scompone in 3·5·149 che appiattito diventa 35149. Essendo quest’ultimo un numero primo, il giochino termina, perché si continuerà a ottenere lo stesso risultato. Conway era convinto che tutti i numeri sarebbero arrivati prima o poi a un primo, ma non riusciva a dimostrarlo: anzi non riusciva nemmeno a sapere cosa sarebbe successo con 20. (Per i numeri precedenti potete vedere qui quale numero viene raggiunto. Ovviamente i primi si fermano subito: è divertente vedere che sia 9 che 10 si fermano a 2213, perché il primo passa da 3²→32 e 25→25 e il secondo direttamente da 2·5→25; seguono 5²→52 e 2²·13→2213.

Bene: James Davis ha scoperto che la fattorizzazione di 13532385396179 è 13·53²·3853·96179 e quindi viene appiattita al numero stesso, trovando un controesempio e guadagnando 1000 dollaroni. Non si sa se ci siano numeri che formano dei cicli o proseguano all’infinito l’operazione. A che serve tutto questo? A nulla, ovviamente :-) se non a vedere quanto si è bravi. I matematici si divertono con poco…

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