Eptadecagono

Se si fosse chiesto a Euclide se era capace a dividere una circonferenza in due parti uguali con riga e compasso, probabilmente il suo sguardo sarebbe stato del tipo “ci sei o ci fai?” Basta infatti disegnare una qualunque retta che passi per il centro del cerchio, e che lo intersecherà nei due punti richiesti. Anche chiedergli di dividere in tre oppure cinque parti uguali la circonferenza non l’avrebbe affatto scomposto, come si può vedere dalle costruzioni qui sotto. Per disegnare un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di centro O, si prenda un punto Z e si tracci una circonferenza di centro Z e raggio ZO; questa circonferenza intersecherà quella data in due punti A e B, che formano un lato del triangolo. Per il pentagono regolare inscritto in una circonferenza di centro O’, si tracci un diametro DE, e si disegnino le circonferenze di diametro DO’ e O’E, di centri rispettivamente P e Q. Se FG è un diametro perpendicolare a DE e H è l’intersezione tra il segmento FQ e la circonferenza di centro Q e diametro O’E più vicina a Q, una circonferenza di centro F e raggio FH interseca la circonferenza di partenza in due punti R ed S che sono il lato del pentagono regolare richiesto. Il tutto si vede meglio nella figura qui sotto.

[triangolo e pentagono regolare]

Beh, a onor del vero la costruzione del pentagono regolare che ho mostrato è moderna, ed è stata inventata nel diciannovesimo secolo da Yosifusa Hirano come spiegato da Alexander Bogomolny nel suo Cut the Knot; ma non è un grande problema, visto che Euclide una costruzione con riga e compasso ce l’aveva. Il vero problema è che Euclide si fermava lì, e con lui tutti i matematici per duemila anni. Certo, si poteva raddoppiare a piacere il numero di lati delle figure, e anche costruire un pentadecagono facendo “la differenza” tra il triangolo e il pentagono; ma quelli sono semplici corollari. Per ottenere un nuovo risultato è stato necessario che arrivasse nientemeno che Carl Friedrich Gauss, insomma un peso massimo: Gauss bello bello mostrò che si poteva costruire con riga e compasso un eptadecagono regolare, cioè un poligono di diciassette lati. La costruzione mostrata qui sotto è presa da Mathworld, ed è stata presentata per la prima volta da un tal Richmond. Il fatto che “richieda molti conti per dimostrare che funziona” mi spaventa tanto quanto mi spaventa la costruzione stessa, che è la seguente.

1. Si disegni una circonferenza di centro O e un diametro, e sia P1 uno dei punti in cui il diametro interseca la circonferenza.
2. Si costruisca il diametro perpendicolare a quello precedente, e sia B una delle intersezioni con la circonferenza.
3. Sia J tale che 4OJ = OB.
4. Si trovi il punto E su OP1 per cui l’angolo OJE sia un quarto di OJP1.
5. Si trovi il punto F sul prolungamento di OP1 tale che l’angolo EJF sia di 45 gradi.
6. Si costruisca un semicerchio di diametro FP1; esso intersecherà OB in un punto K.
7. Si costruisca un cerchio di centro E e raggio EK; esso intersecherà il segmento OP1 in un punto N4
8. La perpendicolare a OP1 che passa per N4 interseca la circonferenza in un punto P4 (e in un P15, per la cronaca)

Bene: P1 e P4 sono il primo e il quarto punto del nostro eptadecagono. Basta riportare man mano quella distanza sulla circonferenza per avere i punti P7, P10, P13, P16, P2, P5, P8, P11, P14, P17, P3, P6, P9, P12, P15 (poi se si è stati bravi a disegnare il punto successivo è P1). Qui sotto c’è la figura corrispondente alla costruzione, grazie a Geogebra (oh, garantisco che P15 era perfettamente nell’intersezione voluta!)

[costruzione di un eptadecagono]

Secondo Mathworld questa è una costruzione “facile” (rispetto alle altre per disegnare un eptadecagono), il che ci permette di accettare il fatto che i greci non ci fossero poi arrivati. Ma la cosa importante è un’altra. Per arrivare al suo risultato, Gauss non usò la geometria ma l’algebra, e scoprì quali sono tutti i numeri n per cui si può costruire con riga e compasso un n-gono regolare. Già questo passaggio dalla geometria all’algebra può sorprendere, ma in fin dei conti c’era già stato Cartesio che aveva compiuto il primo passo con la geometria analitica. Ma la soluzione gaussiana è ancora più incredibile. I valori possibili di n sono tutti e soli quelli della forma 2k·p1k1·p2k2·…·pmkm, dove i vari ki sono interi non negativi e i pi sono i numeri primi di Fermat, cioè – a quanto ne sappiamo fino ad oggi – 3, 5, 17, 257 e 65537. No, non mi metto a disegnare un 257-gono: il tutto è una pura questione di principio. Ma quello che è ancora più bello è che abbiamo aggiunto un concetto di teoria dei numeri, un’altra branca ancora della matematica. Non è affascinante come la matematica sia un tutt’uno?

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