Quando una “dimostrazione” è una dimostrazione?

[Dimostrazione senza parole di Bhāskara] Quella che vedete qui a fianco è la “dimostrazione” del teorema di Pitagora dovita al matematico indiano Bhāskara nel XII secolo: ne avevo parlato qualche anno fa. Per molte persone – ma anche per me, in un certo senso che spiego più avanti – il disegno è più che sufficiente per mostrare oltre ogni ombra di dubbio che il quadrato costruito sopra l’ipotenusa di un triangolo rettangolo ha la stessa area della somma dei due quadrati costruiti sopra i cateti del triangolo. In fin dei conti abbiamo semplicemente spostato qua e là dei pezzi, e quindi non abbiamo modificato le loro aree.

La cosa vi convince? Bene, allora vi convincerà anche la “dimostrazione” qui sotto, che vi fa vedere come un quadrato di lato 8 ha la stessa area di un rettangolo di lati 5 e 13. Anche in questo caso abbiamo semplicemente spostato dei pezzi, no? Allora è vero che 64 è uguale a 65?

[64=65?]

Quella della seconda figura è una ben nota illusione geometrica che sfrutta le proprietà dei numeri di Fibonacci. Per chi non la conoscesse ancora, il trucco è che la linea diagonale che si vede nel rettangolo a destra non è una vera linea ma un sottilissimo parallelogramma che ha un’area complessiva di un’unità: proprio quella che spuntava in più. (Per amor di precisione, quelli da me disegnati non sono triangoli ma quadrilateri, per non far notare il parallelogramma nascosto.) A questo punto, però, un lettore inquisitivo si può giustamente domandare se non sta capitando la stessa cosa nella figura di Bhāskara, e che cioè quello che vediamo come quadrato nella figura di sinistra non sia invece una figura un po’ stortignacca e quindi di area differente. Anzi, diciamolo in maniera leggermente diversa: visto che sappiamo (dovremmo sapere?) che il teorema di Pitagora è vero, possiamo essere ragionevolmente certi che quello di sinistra è effettivamente un quadrato: però per esserne del tutto certi dobbiamo dimostrarlo. Per fortuna la dimostrazione non è così difficile! Sappiamo infatti che la somma degli angoli di un triangolo è un angolo piatto: visto che i tre angoli che troviamo su ciascuno dei “lati” del nostro quadrato grande sono proprio quelli del triangolo, possiamo togliere le virgolette e chiamarli lati a tutti gli effetti. La dimostrazione è insomma salva.

Tutto è bene ciò che finisce bene? Macché. Chi ci assicura che la somma degli angoli di un triangolo sia effettivamente 180 gradi? Questa affermazione a prima vista così semplice è equivalente al famigerato quinto postulato di Euclide, quello sulle parallele che non si incontrano se non all’infinito; detto in altri termini, il teorema non sarebbe affatto valido se per esempio disegnassimo un triangolo rettangolo sulla superficie di una sfera. (Non ci vuole molto a convincersi della cosa: prendete un triangolo sulla superficie terrestre che abbia come vertici il polo nord e i punti sull’equatore a longitudine 0 e 90 gradi est. Risultato? È un triangolo trirettangolo, cioè con tre angoli retti e i lati – e i loro quadrati – tutti uguali…) Kant insomma avrebbe trovato la cosa ovvia a priori, noi no.

Qual è la morale di questa storia? La matematica, almeno quella di base, non è poi così difficile se la si sa vedere nel modo giusto: ma bisogna sempre ricordarsi di fare molta attenzione e non prendere per buono un disegno solo perché sembra ben fatto :) (Post scriptum: c’è anche chi non è del tutto convinto che le dimostrazioni di congruenza “per traslazione” non siano valide. Ma noi non siamo così fiscali…)

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