In questi giorni ci sono stati i test di accesso alle facoltà universitarie a numero chiuso, per la prima volta con le stesse domande in tutta Italia. Non essendoci una graduatoria unica chi ha scelto una sede meno ambita aveva però più possibilità di essere ammesso… ma non è di questo che voglio parlare. Come potete leggere in questo articolo su Repubblica.it, il punteggio assegnato sembrerebbe peculiare; un punto per ogni risposta corretta, zero punti per ogni risposta non data, e −0,25 punti per ogni risposta errata. Sono ragionevolmente certo che quel meno sia stato aggiunto in un secondo tempo, perché inizialmente non l’avevo visto e la cosa mi aveva fatto subodorare il refuso, poi evidentemente corretto. Come mai sapevo che c’era un errore, e perché si danno punteggi negativi?
La ragione di tutto questo è molto semplice, e sta nella necessità di evitare un indebito vantaggio di chi tira a indovinare quando non sa dare la risposta corretta. Iniziamo con un test semplice, “vero o falso?”. Se noi mettiamo risposte a caso, come Piperita Patty era solita fare ad esempio qui, dovremmo in media imbroccare metà delle risposte. (No, Piperita Patty in genere le sbagliava tutte, ma è perché spesso cercava di usare tecniche troppo sofisticate per tirare a caso…) Il furbo estensore del test, per evitare l’effetto Piperita, avviserà preventivamente che mentre assegnerà un punto a ogni risposta corretta, ne toglierà uno per ciascuna risposta errata; in un test di venti domande, pertanto, chi tira a caso dovrebbe in media indovinare dieci risposte e sbagliarne altrettante, finendo con un punteggio di zero esattamente come chi lascia il foglio bianco.
A questo punto potremmo chiederci come si fa a calcolare quale punteggio togliere alle risposte errate per evitare che qualcuno tiri a caso, o se preferite ricavare il numero di risposte possibili nei test assegnati agli aspiranti studenti, sempre partendo dall’ipotesi che si voglia evitare l’effetto Piperita. Fortunatamente rispondere a queste domande è facile. Immaginiamo di avere n possibili risposte; in un gruppo di n domande, chi risponde a caso riuscirà ad azzeccarne statisticamente una ottenendo un punto, e sbaglierà le altre n−1. Se quindi per ogni risposta errata verranno tolti 1/(n−1) punti l’effetto totale sarà nullo; nel caso dei test di cui stiamo parlando possiamo pertanto asserire con una certa fiducia che le risposte possibili a ogni domanda erano cinque.
Ma la storia non finisce qui! Come ben sa chiunque abbia mai provato anche solo a fare i quiz per prendere la patente, è molto probabile che per una data domanda – pur non sapendo la risposta – si possano tranquillamente eliminare una o due delle scelte dateci in pasto. Non ho mai capito se chi prepara questi test si scoccia a generare risposte e quindi cerca di sollevarsi il morale inserendo qualcosa dal suo punto di vista umoristico, o se semplicemente non ha sufficiente fantasia per generare risposte false ma plausibili. Resta però il risultato pratico che lo studente smaliziato può sfruttare la cosa a suo favore. Immaginiamo che ci siano cinque risposte possibili e che venga assegnato un punto se la risposta è corretta e tolti 0,25 punti se è errata. Se io scelgo a caso tra tutte e cinque le risposte, il punteggio che otterrò statisticamente è zero; ma se scarto a priori una risposta e scelgo a caso tra le altre quattro, statisticamente otterrò 0,0625 punti. Per ottenere questo valore si usa lo stesso procedimento di prima; in un gruppo di quattro domande ne imbroccherò una e ne sbaglierò tre, con un punteggio totale di 0,25 punti, che diviso per quattro dà appunto 0,0625. Voi magari direte che non vale la pena di fare tanta fatica per un risultato così miserrimo; ma ogni centesimo risparmiato è un centesimo guadagnato e chissà che non sia proprio quella risposta data tirando a indovinare ma non troppo che ci permetterà di raggiungere l’agognata iscrizione.
E poi dite che la matematica non serve?
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