I numeri ordinali

Ebbene no! Non avevo finito di parlare dei numeri infiniti! Nella teoria cantoriana, infatti, ci sono due tipi diversi di infiniti: quello dei numeri cardinali, quelli di cui si sente generalmente parlare, e quello dei numeri ordinali, i fratelli sfigati che restano sempre in ombra. Per una volta, cerchiamo di alzare le luci della ribalta anche su di loro.

Tanto per cominciare, i numeri ordinali sono un concetto assolutamente standard anche nella matematica che si studia a scuola, e li si trova persino nella vita di tutti i giorni. Quando parliamo della regina Elisabetta II o di papa Benedetto XVI, usiamo dei numeri ordinali (“secondo” e “sedicesimo”); detto in altro modo, abbiamo messo in ordine (di data in cui hanno assunto il potere) i monarchi inglesi di nome Elisabetta e i sommi pontefice di nome Benedetto, e abbiamo visto in che posto si situava la persona di cui stavamo parlando. Anche quando mangiamo la quinta fetta di torta le abbiamo ordinate seguendo il tempo in cui ce le siamo portate alla bocca – e anticipando una probabile indigestione, ma di queste cose la matematica non si occupa.

Finché si ha a che fare con i numeri finiti, non è che ci sia una grande differenza tra i numeri ordinali e quelli cardinali, a parte il nome che si dà loro; in fin dei conti, se prendiamo un insieme di 42 elementi in qualunque modo li si metta in ordine l’ultimo sarà sempre il quarantaduesimo, non ci piove. Gli ordinali che troviamo in questo modo sono di tre tipi: c’è lo 0, che deve essere postulato perché da qualche parte bisogna pure iniziare, anche se mettere in ordine zero elementi può dare qualche problema a chi non è aduso alle mirabolanti proprietà dell’insieme vuoto. Poi ci sono i cosiddetti ordinali successori; proprio come avere papa Benedetto XVI ci fa intuire che ci deve essere stato un suo predecessore di nome Benedetto XV, così l’ordinale chiamato 42 è il successore di un altro ordinale (il 41, come sicuramente avrete intuito).

Ma appena arriviamo all’infinito, come ormai avrete capito capita molto spesso, le cose assumono tutto un altro aspetto. Per prima cosa, ci sono degli ordinali infiniti? Beh, sì: se prendiamo ad esempio tutti i numeri interi li possiamo mettere in ordine crescente, e la successione (1, 2, 3, 4, 5…) è (corrisponde a) un numero ordinale per la nostra definizione. Di quale numero ordinale questa successione è il successore? Beh, “infinito meno uno” si direbbe non esistere (ma aspettatevi delle sorprese). In effetti il nostro numero ordinale transfinito, che è chiamato ω, fa parte di una terza classe, quella degli ordinali limite. Il limite di tutti gli ordinali finiti è appunto ω. Avete notato? Niente lettere ebraiche. Si ritorna al greco, anche se si usa l’ultima lettera dell’alfabeto; scelta parecchio infelice, come vedremo poi. Il fatto di averlo chiamato in modo diverso dal più piccolo cardinale transfinito vi dovrebbe far risuonare un campanellino in testa; in effetti è proprio così, ma vedremo la prossima volta come questo campanellino suonerà freneticamente.

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