Risposte ai problemini per Ferragosto 2021

Ed ecco le risposte ai problemini della scorsa settimana!

Area uguale al perimetro
Supponiamo che l’ipotenusa del triangolo sia a e i suoi cateti b e c. Allora la sua area sarà bc/2; uguagliandola ad a+b+c otteniamo 2a=bc−2b−2c. Elevando al quadrato questa uguaglianza, e sostituendo ad a² il suo valore b²+c², ricaviamo

4b²+4c²=b²c²+4b²+4c²−4bc²−4b²c+8bc

che dopo aver semplificato e diviso per bc

bc−4b−4c+8 = 0

da cui c = (4b−8)/(b−4) = 4 + 8/(b−4).

Le uniche radici intere positive di questa equazione si hanno per b = 5, 6, 8, 12; le prime due danno la coppia (b,c) = (5,12) e (6,8), mentre le altre due sono simmetriche.

Area uguale al perimetro 2

Un trapezio rettangolo è l’unione di un rettangolo e di un triangolo rettangolo, come si vede in figura qui sotto. Cominciando con i triangoli rettangoli più piccoli, ci sono due casi possibili, sempre mostrati qui sotto. Nella figura di sinistra, il perimetro del trapezio è 2x+12 e l’area 4x+6, da cui x=3 e l’area è 18; nella figura di destra, il perimetro è sempre 2x+12 ma l’area è 3x+6, da cui x=6 e l’area è 24. I triangoli rettangoli successivi hanno area almeno 24 (lati 6,8,10) e 30 (lati 5,12,13); pertanto l’area minore è data dalla figura di sinistra, con un rettangolo di lati paralleli 3 e 6, lato verticale 4 e lato obliquo 5.
[soluzione]

Quadrato latino

Le due soluzioni sono mostrate qui sotto: una è quella con i cerchi colorati, l’altra quella con i quadrati colorati.
[soluzione]

Quadrato latino 2

L’unica soluzione è mostrata qui sotto.
[soluzione]

Griglia autoreferenziale

La soluzione è mostrata qui sotto.
[soluzione]