Tutti i numeri naturali sono uguali [Pillole]

Lasciamo da parte lo zero, e consideriamo l’insieme N di tutti i numeri naturali 1, 2, 3, 4, … Vale allora il seguente

Teorema: per ogni coppia di numeri a,bN, si ha che a=b; in altre parole tutti i numeri naturali sono uguali.

Dimostrazione: per induzione. Sia k = max (a,b). Se k=1, allora necessariamente a=b=1 e il teorema è vero. Nel caso generale, immaginiamo che il teorema sia vero fino a k e che max (a,b) = k+1. Quest’ultima eguaglianza implica però che max (a−1,b−1) = k; per ipotesi induttiva, a−1=b−1 e quindi a=b; QED.

Ehm… forse c’è qualcosa che non va. Riuscite a scoprire cosa?