Problemi di Natale 2012

E anche quest’anno siamo arrivati a Natale, e ai problemi natalizi del blog di matematica! Quest’anno, a dire il vero, i problemi sono più per l’anno nuovo, nel senso che tutti e cinque sono basati sul numero 2013. Visto che pubblicherò le soluzioni il 31 dicembre, anche se non riuscite a risolverli per conto vostro avete la possibilità di riciclarveli durante il veglione!

1. Somme

È facile ottenere 2013 come somma di interi positivi consecutivi: anche tralasciando la soluzione che prevede la “somma” del singolo elemento 2013, si possono sommare i due numeri 1006+1007. Ci sono altre soluzioni possibili? E se si accetta che nella somma ci siano anche numeri interi negativi, quante sono in tutto le soluzioni possibili?

2. Moltiplicazioni

Se moltiplichiamo tra di loro 2013 numeri interi positivi consecutivi, sicuramente il prodotto – oltre che essere molto grande… – è un multiplo di 2013. Ma se volessimo tirare al risparmio, qual è il minimo numero N tale che se moltiplichiamo tra di loro N interi positivi consecutivi siamo certi di ottenere un multiplo di 2013?

3. Fattori

A scuola, il piccolo Qwfwq alza la mano.
– “Lo so! lo so! Gli unici fattori primi distinti di 2013 sono 3 e 11!”
– “Bravo, Qwfwq: la risposta è corretta, visto che vi ho insegnato che 1 non è considerato un fattore primo”.
Come è possibile? (no, non vale dire “sono tutti impazziti”. La risposta deve essere matematicamente valida)

4. Lettura

Il libro che sto leggendo ha tutte le sue pagine numerate, naturalmente a partire da 1 e consecutivamente. Contando le cifre presenti in tutti i numeri di pagina, si arriva a 2013. Quante pagine ha il libro?

5. Contare sulle dita

Mia figlia Cecilia sta imparando a contare sulle dita. Solo che ha un metodo particolare: usa il pollice e conta sulle falangi delle altre dita. Sale sul mignolo, contando 1,2,3; scende sull’anulare, 4,5,6; sale sul medio, 7,8,9; scende sull’indice, 10,11,12. A questo punto torna indietro, risalendo sull’indice, e contando 13,14; scendendo sul medio, 15,16,17; salendo sull’anulare, 18,19,20, e scendendo sul mignolo, 21,22,23. Come avrete intuito, poi torna a salire, contando 24,25…
Se sarà abbastanza paziente da arrivare a 2013, e soprattutto non si sbaglierà, dove si fermerà? Ricordo che la falange è quella vicina al palmo, la falangina quella di mezzo e la falangetta quella in cima. (Non ho mai capito quale sia quella che manca al pollice, ma tanto per il problema non serve saperlo…)