Probabilità truffaldine

Eccovi un semplicissimo problema di calcolo delle probabilità: come direbbe un imbonitore, “non c’è trucco non c’è inganno!” Prendete tre scatole identiche, e inserite due biglie in ognuna di esse. La prima scatola conterrà due biglie bianche, la seconda due biglie rosse, e la terza una bianca e una rossa. A parte il colore, le biglie sono tutte identiche, quindi non potete distinguerle al tatto. Fate in modo che qualcuno posizioni le scatole a vostra insaputa, sceglietene una a caso, metteteci la mano dentro senza guardare e prendete una biglia. Tiratela fuori: è bianca. Qual è la probabilità che anche l’altra biglia nella scatola sia bianca?

Molto spesso la gente a cui viene posta la domanda ragiona in questo modo: se etichettiamo le tre scatole come RR, RB e BB dalle iniziali dei colori delle biglie che contengono, è chiaro che non possiamo avere scelto la prima scatola. Ne restano due, nel primo caso l’altra biglia è rossa e nel secondo bianca; quindi la probabilità che anche la seconda biglia sia bianca è il 50%, o come direbbe un matematico 1/2 (I matematici invece che dire 100% dicono 1, così tutte le probabilità sono numeri compresi tra zero e uno. Dopo un po’ non solo ci si abitua ma si capisce che si fanno meglio i conti). Ottimo ragionamento: peccato che sia sbagliato!

Non ci credete? Facciamo lo stesso esperimento, ma con una piccola differenza. Le tre biglie bianche e quelle rosse non sono più identiche; su una biglia bianca e una rossa c’è disegnato un cerchietto, su un’altra coppia una crocetta e sulla terza coppia una stellina. Mettiamo ora le due biglie con la stellina in una scatola; le altre due avranno pertanto una biglia con un cerchietto e una con una crocetta, in una scatola quelle bianche e nell’altra le rosse. Tiriamo fuori, proprio come prima, una biglia bianca e vediamo cosa è successo. Se la biglia ha una stellina, è stata presa dalla scatola RB e quindi l’altra biglia sarà rossa (anch’essa con la stellina, per la cronaca); se invece ha un cerchietto oppure una crocetta è stata presa della scatola BB e quindi l’altra biglia sarà bianca. In definitiva la probabilità che anche la seconda biglia sia bianca non è 1/2 ma 2/3, cioè il 66.6%. Una bella differenza, e se aveste scommesso alla pari non vi sarebbe andata così bene.

Come immagino vi siate accorti, è vero che quando si calcolano le probabilità si fa generalmente l’assunzione che tutti i vari casi siano indistinguibili, e quindi non c’è nessuna differenza a priori che renda più facile che lanciando un dado esca un cinque o un tre; ma bisogna stare attenti ad accorgersi di quando ci sono due casi effettivamente diversi. Alcuni antropologi si sono persino spinti a dire che il cervello umano non è stato programmato per operare secondo i dettami della probabilità; a giudicare da quanti sono convinti di avere il metodo perfetto di vincere alla roulette, forse hanno ragione.

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