Ed ecco le risposte ai problemini della scorsa settimana!
1. Rombododecaedro
No, la formica non potrà fare il suo percorso. Schiacciate in un piano lo scheletro del rombododecaedro, come mostrato nella figura qui sotto, e colorate di bianco i vertici in cui convergono quattro spigoli e in nero quelli in cui ne convergono tre. Come vedete, un qualunque percorso alterna vertici bianchi a vertici neri; però ci sono 6 vertici bianchi e 8 neri, quindi il percorso è impossibile.
2. Lavorare in 3D
Una possibile soluzione si ottiene gonzos quest slot appiccicando sei cubi a uno centrale, come nella figura qui sotto. che è formata da 30 quadrati uguali.
3. La torta triangolare
A Gino conviene scegliere come punto di partenza per il taglio il baricentro della torta, perché altrimenti Pino potrebbe tagliare una fetta parallela a quella migliore passante per il baricentro e prendere un ulteriore pezzo di torta. A Pino a questo punto conviene fare un taglio parallelo a un lato; altrimenti, come si vede nella figura qui sotto, la parte più scura che viene tolta è minore di quella più chiara aggiunta. Poiché il baricentro è a 2/3 dell’altezza del triangolo, il trapezio inferiore comprende i 5/9 della torta.
4. Divisioni primarie
Nella figura qui sotto vedete l’unica soluzione possibile, a meno di equivalenza topologica.
5. Distanze
Immaginate che la città M sia connessa alle città A, B, C, D… e consideriamo il triangolo MAB. Abbiamo MA<AB e MB<AB, perché altrimenti nel grafo ci sarebbe AB e non uno degli altri due lati. Pertanto, prendendo gli angoli, γ>α e γ>β, da cui sommando l’ovvia uguaglianza γ=γ ricaviamo che 3γ>180° e γ>60°. Visto che questa relazione deve valere per tutti i triangoli costruiti prendendo ordinatamente una coppia di segmenti partenti da M, e visto che non si può superare un angolo giro, il numero massimo di angoli e quindi di segmenti che partono da M è cinque.