La prima cosa che si può vedere è che la prima categoria che ho ipotizzato (valori che crescono all’infinito) in realtà non esiste. Prendiamo infatti un numero di n cifre, con n maggiore o uguale a 4: la somma dei quadrati delle sue cifre sarà minore di 100n, e quindi inferiore a quello di partenza. Questo significa tra l’altro che se siamo armati di una calcolatrice possiamo trovare tutti i cicli possibili e quali sono i valori “di arrivo” per i numeri felici. Ma prima di fare i conti conviene come al solito usare il cervello per vedere se ne possiamo fare di meno! Innanzitutto se applichiamo f a due numeri con le stesse cifre in ordine diverso otterremo lo stesso risultato, quindi possiamo solo considerare i numeri le cui cifre siano in ordine non decrescente, ed evitare quelli che hanno degli zeri. È poi chiaro che almeno un numero felice esiste! Se partiamo da 1 otteniamo infatti ancora 1. Ma questo significa che i numeri felici sono infiniti, perché tutte le potenze di 10 dopo il primo passo danno 1. Ci saranno dei cicli? Beh, vediamo cosa succede applicando più volte f a partire da 2. Otteniamo 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20. Il valore successivo è 4, e quindi abbiamo trovato un ciclo. Andando avanti, possiamo scoprire facilmente che tutti i numeri felici raggiungono 1. Cercando un numero tale che f(n)=n, sappiamo che il numero ha al più tre cifre; ma allora deve essere al massimo 9²+9²+9² = 243; ma allora deve essere al massimo 1²+9²+9² = 163. Da qua non conosco vie rapide, ma il numero di controlli da fare non è molto alto, e quindi si trova facilmente che 1 è l’unica soluzione. Sempre facendo un po’ di conti, si scopre anche qualcosa di meno aspettato: il ciclo che contiene 4 è l’unico possibile. In definitiva, quindi, i numeri felici sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 1, mentre i tristi sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 4.
I numeri felici hanno anche un’altra caratteristica, che fa capire come non si possa fare matematica solo e unicamente con il calcolatore. Contiamo i numeri felici dino a 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000; sono rispettivamente 1, 3, 20, 143, 1442, 14377, 143071. Un fisico 🙂 salterebbe subito alla conclusione che la probabilità che un numero a caso sia felice tende al 14,3% circa. E invece non è così! La sempre benemerita OEIS ha una successione con qualche valore in più di numeri felici da 1 a una potenza di 10, da cui si vede che la percentuale comincia a scendere. Quello che in realtà capita è che non c’è una probabilità limite! La percentuale (i matematici in questo caso la chiamano densità asintotica) continua a oscillare. Un comportamento di questo tipo non è inusuale: prendiamo per esempio i numeri la cui prima cifra è 1. Se controlliamo la percentuale di tali numeri tra 1 e 999…..9, sarà evidentemente 1/9; ma se la calcoliamo tra 1 e 1999….9 sarà più o meno 5/9, pertanto non potrà mai esserci un limite. In quest’ultimo caso però il comportamento delle percentuali è abbastanza facile da visualizzare: nel caso dei numeri felici le cose sono più complicate, e al momento si sa solo che la percentuale scende infinitamente spesso sotto il 12% e sale infinitamente spesso oltre il 18%.
Come vedete, anche un concetto a prima vista banale e alla portata anche di un ragazzo delle medie può nascondere delle sorprese!
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