Studenti o robot?

Continuo a sfruttare le segnalazioni di Paolo Marino (ebbene sì, non ho neppure il tempo di cercare cose nuove in giro, pensate come sono messo male). Questa volta mi ha fatto scoprire How old is the shepherd?, un post che mette in discussione il modo in cui gli studenti imparano a risolvere i problemi. Il problema che dà il titolo a quel post è il seguente: «In un gregge ci sono 125 pecore e 5 cani. Quanti anni ha il pastore?».

Bene, sembra che uno studio del 1986 (link) abbia scoperto che i tre quarti degli studenti dell’ottavo anno (come dire tra la fine delle medie e l’inizio delle superiori, nel nostro sistema scolastico) hanno dato una risposta al problema! Le risposte variavano da 5 a 625. La “migliore risposta” ha seguito questo ragionamento: “L’operazione da fare non può essere l’addizione, perché 125+5=130 e il pastore non può essere così vecchio. Ma anche con la sottrazione abbiamo 125-5=120 che è troppo: con la divisione però abbiamo 125/5=25 che ha senso”. Notate come in questo caso lo studente ha provato ad applicare il cervello ed eliminare le risposte chiaramente assurde, ma non si è accorto che il problema era appositamente malposto, perché con i dati forniti è impossibile dare una risposta. Il post si lamenta di come gli studenti vengono spinti ad essere macchine da teoremi, senza pensare prima al problema da un punto di vista più generale e capire se effettivamente ha senso oppure no.

È sempre così? Non so. Io sono sicuro di avere visto una decina di anni fa un eserciziario dove c’era un elenco di problemi preceduto da queste frasi: “In questi problemi ci può essere un dato mancante oppure un dato di troppo: scrivete quali sono questi dati”. D’accordo, non è la stessa cosa che aspettarsi che lo studente si accorga da solo di quello che non va, ma credo sia un buon compromesso, almeno fino ai 14-15 anni quando il pensiero astratto non è ancora ben formato. Sapere che possono esserci problemi malposti aiuterà da adulti, quando i problemi non ci verranno attentamente selezionati ma ce li troveremo davanti e dovremo capire da soli dove recuperare i dati e cosa possiamo lasciare perdere.

Devo però dire che mi sono divertito molto di più a leggere le lamentazioni di uno zio – e dei commentatori – a un altro post citato da questo: My Nephew Brought Home This Menacing Maths Problem. Il problema è questo. Prendete quattro copie del numero 1234 e mescolate le cifre di ciascuno in un ordine a piacere, per esempio 1234, 3124, 1324, 3124, in modo che la somma di questi quattro numeri sia 9000. Io ho guardato il problema, ho letto tutti i tentativi, prima con la forza bruta e poi cercando una dimostrazione lavorando cifra per cifra, e mi sono chiesto “ma dov’è il problema? È banale”. Se volete cimentarvi anche voi nel trovare la soluzione, fermatevi qui o almeno saltate il prossimo paragrafo: altrimenti proseguite pure a leggere.

Anche in questo caso ci troviamo di fronte a un problema matematico – stavolta non c’è nemmeno dematematizzazione, quindi non dobbiamo metterci a cercare chissà quali proprietà non matematiche mancanti – che può mandare in tilt uno studente non troppo attento, per l’ottima ragione che in realtà è impossibile arrivare a 9000. Ora, sarà che la mia formazione matematica si fa sentire, ma posso assicurarvi che a me pare naturale cercare una dimostrazione di impossibilità, soprattutto dopo che qualche tentativo fatto più o meno a caso non avesse dato esito positivo. Una dimostrazione di impossibilità spesso può essere più semplice di un bieco enumerare tutte le possibilità ed eliminarle una ad una. Anche in questo caso è così, e la strada più semplice da seguire, almeno per me, consiste nell’usare la vituperata prova del nove. Il numero 1234, come tutte le sue permutazioni, ha come radice numerica 1; quindi sommando quattro permutazioni la radice numerica sarà 4. Peccato che la radice numerica di 9000 sia 0 (o 9, come mi hanno fatto notare nei commenti si insegna a scuola). Tutto qua. Le operazioni che ho fatto sono state la somma 1+2+3+4 e la somma 1+1+1+1, non esattamente scogli insuperabili; la prova del nove dovrebbe essere stata insegnata alle elementari o al più tardi all’inizio delle medie.

È vero. Il problema era un trabocchetto, proprio come nel primo caso. Già se fosse stato posto sotto forma di domanda (“È possibile ottenere 9000?”) forse sarebbe stato più agevole risolverlo per alcuni. Ma torniamo al punto di partenza. Perché l’insegnante deve preparare tutta la pappa allo studente? Parte della matematica – una parte preponderante, oserei dire – consiste proprio nell’arrivare ad avere un senso matematico, un’idea di come le cose potrebbero funzionare, e un insieme di strumenti tra i quali scegliere quello più adatto volta per volta… ricordandosi però che non è detto di avere quelli giusti (vedi il pastore). Il guaio è però che spesso non c’è nemmeno tempo a sufficienza per insegnare agli allievi un po’ tonti l’uso degli strumenti, e quindi aggiungere ancora un’altra complicazione potrebbe diventare deleterio dal punto di vista dei famigerati programmi scolastici. Insomma, una situazione delicata. Voi che ne pensate?

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