La parità all’opera

Un problema molto carino che ho trovato sul libro di Peter Winkler Mathematical Puzzles ha il testo seguente:

Supponiamo di avere un rettangolo diviso in un certo numero di rettangoli, per ciascuno dei quali o la base o l’altezza (oppure entrambe) hanno una lunghezza intera. Dimostrare che anche il rettangolo grande ha la stessa proprietà, cioè almeno uno dei suoi lati ha lunghezza intera.

Mondrian, chi era costui?
Se volete provare a dimostrarlo per conto vostro, fate pure: io non ci sono riuscito, e sono andato a consultare la soluzione, che troverete qui sotto. Eppure la soluzione, quando la vedete, non è per nulla complicata. Come mai allora non è facile trovarla? Semplice: bisogna applicare una tecnica che a prima vista non c’entra nulla.

Il trucco per risolvere il problema? quadrettare il rettangolo! Prendete il rettangolo e posizionatelo su una scacchiera infinita (su due lati) i cui quadretti hanno lato 1/2, in modo che il vertice in basso a sinistra sia l’origine, come nella figura in fondo. Se ci pensate un po’ su, vi rendete immediamente conto che ciascuno dei rettangolini ha per definizione (almeno) un lato di lunghezza multiplo di due quadrettini, il che significa che l’area bianca e quella nera devono essere identiche. Ma se ogni rettangolino ha area bianca e area nera identiche, anche il rettangolo complessivo deve essere così.

Ma se entrambi i lati del rettangolo grande non fossero multipli di due quadrettini allora l’area bianca e quella nera non possono essere uguali. Per sincerarvene, togliete il massimo multiplo di due da entrambi i lati; rimarrà un rettangolo contenuto in un quadrato di lato 2, che non può avere la stessa area in bianco e in nero. Fine della dimostrazione. (Beh, Stan Wagon ha scritto nel 1987 per l’American Mathematical Monthly un articolo intitolato “Fourteen Proofs of a Result about Tiling a Rectangle”, e Winkler ne propone una quindicesima… giusto per mostrare come non ci sarà una via regale alla matematica, ma di strade ce ne sono comunque tante)

Commenti? Il primo è sicuramente la considerazione che le tecniche di parità spuntano come funghi quando si tratta di risolvere problemi, e anche stavolta salvano la ghirba al povero risolutore di problemi… ammesso che si ricordi di provare a usarle. Ma il secondo e più importante commento è che la matematica è una strana bestia, e spesso gioca dei brutti scherzi. Perché mai a qualcuno dovrebbe venire in mente di quadrettare il rettangolo? Peggio ancora, perché quadrettarlo con lati lunghi 1/2, e non 1? Io non so come uno possa arrivarci, e in effetti non sono riuscito a risolvere il problema. Però qualcosa sotto ci deve essere, no? Ecco: quel “qualcosa” è il bello della matematica. È la stessa cosa per cui c’è gente capace di ascoltare il rumore di un motore e intuire perfettamente cosa non sta andando, mentre altri come me fanno fatica ad accorgersi anche solo che ci sia qualcosa che non va. È chiaro che ognuno ha le proprie capacità: però almeno dovremo essere tutti in grado di apprezzare una soluzione elegante, proprio come siamo in grado di apprezzare un bel quadro anche se non sappiamo disegnare…

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