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Storia e storie del pi greco

Un libro di Pietro Greco ricostruisce la storia della costante matematica che serve a calcolare l'area di un cerchio dall’antichità a oggi, che è il 3/14

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Il 17 marzo uscirà il libro Storia di π di Pietro Greco, scrittore e giornalista scientifico, pubblicato da Carocci. Il libro ripercorre la storia della scoperta del pi greco, il numero che rappresenta il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio, che viene festeggiato oggi con il pi greco day: una festa nata negli Stati Uniti e fissata il 14 marzo perché nell’uso americano la data di oggi si scrive come 3/14, le prime tre cifre del pi greco.

Pietro Greco (che per via del suo nome sente il pi greco come una presenza costante nella sua vita) affronta nel libro diversi aspetti della storia del numero: la ricerca di un valore il più definito possibile di pi greco grazie alla conoscenza di un numero sempre maggiore di cifre decimali (arrivate oggi a due milioni di miliardi); i metodi usati per calcolarlo, con i protagonisti principali che sono Archimede, che considerava la lunghezza della circonferenza come numero compreso fra i valori facilmente calcolabili dei perimetri di due poligoni, uno inscritto e uno circoscritto al cerchio, Isaac Newton e Gottfried Leibniz, con la scoperta del calcolo differenziale; e la natura stessa del pi greco, se sia cioè un numero razionale o irrazionale.

In questo estratto il capitolo dedicato allo studio della matematica e, di conseguenza, del pi greco nel mondo islamico fra il 700 e il 1500 circa, dopo il grande impulso che era venuto in precedenza dagli studiosi del mondo greco.

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Nel IX secolo a Baghdad, Abū Ja’far Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, più conosciuto come al-Khwārizmī (780-850 circa), il direttore della Bayt al-Ḥikma, la grande biblioteca nota in Occidente come Casa delle Sapienza o anche Casa della Saggezza, pubblica una serie di scritti in cui propone tre diversi valori di π, scritti con le cifre indiane, quelle che oggi usiamo tutti in tutto il mondo:

π = 3 +1/7; π = √10; π = 62.832/20.000 = 3,1416

Al-Khwārizmī è un grande matematico. Forse il più grande del mondo islamico di ogni tempo. Ma, come le cifre in cui li esprime, quei tre valori non sono frutto di sue ricerche originali. Li ha ricavati il primo da testi greci e gli altri due da testi indiani.
Ancora una volta la storia di π ci fornisce uno spaccato dell’intera storia matematica e, per certi versi, della storia tout court.

Maometto, come si sa, muore a Medina l’8 giugno 632. E la sua morte, invece di frenare il movimento dei popoli del deserto che seguono le sue predicazioni, segna l’inizio di quella che è stata definita l’“avventura internazionale dell’Islam”, che in un tempo incredibilmente breve porta gli Arabi a creare un impero che va dallo Stretto di Gibilterra fino all’Indo e una civiltà che brilla quanto e più di quella bizantina, quella indiana e quella cinese con cui pure ha un confronto osmotico.
Ancora una volta, non abbiamo lo spazio per richiamare la storia dell’Islam. Diciamo solo che nei primi secoli l’impero è governato da due dinastie, prima da quella degli Omayyadi che governano da Damasco fino al 750 e poi, a partire da quell’anno, dalla dinastia degli Abbasidi che governano da Baghdad.

Diciamo anche che molti definiscono i primi due secoli della dinastia abbaside – proprio il periodo in cui opera al-Khwārizmī – i secoli del “rinascimento islamico”: perché per i musulmani è un’epoca di grande sviluppo economico, civile e culturale di cui è parte non marginale la scienza. Tanto che molti considerano la scienza prodotta nel corso di questi secoli come una sorta di ripartenza – un rinascimento, appunto – della stessa scienza ellenistica.
Insomma, il legame dell’Islam con il mondo ellenistico e prima ancora greco non sarà esclusivo, ma è forte, sistematico e decisivo: un vero e proprio flusso ininterrotto di conoscenze che vengono assorbite e metabolizzate.
La trasmissione del sapere greco ed ellenistico avviene attraverso una doppia opera di traduzione dei classici: con un’accelerazione delle traduzioni dal greco in siriano, durante il periodo che va dal 750 all’850, e poi dal siriano all’arabo tra 850 e 950. Questa immensa opera – tutto quanto è scritto in greco viene metodicamente tradotto – è realizzata dai cristiani nestoriani, in particolare da parte dei membri della famiglia dei Bukht-Yishu (“Gesù ha detto”).

La definizione di “rinascimento islamico” della scienza è dunque intrigante, ma coglie solo una parte della realtà. L’Islam, infatti, non si limita a prendere il testimone della scienza ellenistica lasciato invece cadere dai Romani, mostra piuttosto una sua propria “creatività scientifica”. Il “rinascimento islamico” ha infatti molti caratteri originali, che vengono alla luce per la prima volta in un territorio tanto variegato che spesso, esteso com’è dalla penisola iberica all’Indo e al Gange, ha in comune solo l’uso della lingua araba. Inoltre questi caratteri originali si fondano sia su elementi della scienza ellenistica – in particolare quelli della prima fase della scienza ellenistica, la scienza degli Euclide e degli Archimede per intenderci, oltre che di Galeno per la medicina e di Claudio Tolomeo per l’astronomia e l’ottica – sia su e con elementi della scienza prodotta in altre regioni del mondo: in Cina, in India e, soprattutto, in Persia. Si fondano, dicevamo, e con essi si fondono.
Più che un rinascimento, dunque, quella realizzata dai matematici, dagli astronomi, dai chimici, dai medici dell’Islam è una vera e propria rivoluzione. Un ramo importante di quel ricco cespuglio di rivoluzioni – mai del tutto indipendente, ma mai del tutto linearmente conseguenti – che caratterizzano la storia della scienza.
La matematica islamica (compreso l’approccio degli islamici a π) contiene in sé tutti gli elementi di questa rivoluzione fondata sulla contaminazione.

Qui occorre essere più precisi. Perché nella storia esistono, come rileva Carl Boyer, due livelli di cultura matematica. C’è quella pratica, che qualcuno ha definito la “matematica dell’abaco”: nata in Mesopotamia e in Egitto, ma anche in India e in Cina, serve da alcuni millenni ad amministratori e agrimensori, artigiani e anche architetti, mercanti e marinai. La conoscono e, appunto, la praticano pressoché tutti i popoli stanziali nei tre continenti connessi, e continua a esistere nell’Eurasia occidentale anche dopo la caduta dell’Impero romano.
Viceversa la matematica teorica – la scienza matematica – è più profonda, ma ha una vita più effimera. È quella che, come abbiamo visto, appare nella parte orientale del bacino mediterraneo con Pitagora, Archita ed Eudosso, si sviluppa con Euclide, Archimede e Apollonio, e sarà ricordata – ma non ulteriormente sviluppata – nel IV secolo da Pappo. Questa matematica, centrata sulla geometria e sul metodo assiomatico-deduttivo, non è mai davvero sbarcata in Occidente – gli Elementi di Euclide saranno tradotti in latino quattro secoli dopo essere stati tradotti in arabo – e comunque in Occidente tramonta dopo il IV secolo e viene dimenticata per quasi un millennio.
Ebbene, queste due tradizioni – la cultura pratica e la cultura teorica – si incontrano nella matematica islamica, che, per ciascuno dei due livelli, attinge con un’intensità inedita da fonti di ogni parte dei tre continenti connessi, come dimostrano i tre valori di π assunti e riproposti da al-Khwārizmī.

La scienza matematica islamica consiste infatti di quattro componenti importanti:
1. un’aritmetica di chiara derivazione indiana, compreso il principio posizionale;
2. un’algebra di derivazione mista (indiana, persiana, greca) ma con profonde innovazioni originali;
3. una trigonometria di fondamento greco (per greco, sia chiaro, intendiamo il mondo ellenistico che utilizza il greco come lingua veicolare), ma innervata dalle concezioni indiane e da sviluppi originali;
4. una geometria di origine greca, cui gli islamici forniscono un contributo originale.
Tutto è frutto delle incredibili capacità di relazione che l’Islam dimostra di possedere sia quando guarda a Occidente, sia quando guarda a Oriente.

Gli Arabi, per esempio, entrano subito in contatto con la cultura indiana, già all’inizio della loro “avventura internazionale” sia direttamente, sia attraverso i Siriani e i Persiani. Per la matematica questi contatti hanno conseguenze davvero profonde. I popoli venuti dal deserto, infatti, apprendono in breve che gli Indiani hanno un sistema di numerazione molto efficiente, il sistema posizionale, basato su sole nove cifre (più una, lo zero, che non è ancora considerato un numero a tutti gli effetti), che è molto efficace per far di conto. Ed è particolarmente utile ai mercanti.

E così, anche se respingono l’uso dei numeri negativi già acquisito dagli Indiani, apprendono le tecniche matematiche ormai molto sviluppate tra l’Indo e il Gange, ma ancora sconosciute in Occidente. Il primo riferimento alle nove cifre indiane (più una) e alla numerazione posizionale decimale avviene già intorno al 662, a opera del vescovo siriano nestoriano Severo Sabokt (vissuto nel VII secolo). Dopo la chiusura dell’Accademia di Platone decretata nel 529 dall’imperatore bizantino Giustiniano (483-565), molti intellettuali lasciano Atene per sfuggire alla persecuzione ed emigrano in Siria e in Persia. Sono intellettuali di gran vaglia, cui non manca una certa dose di sussiego, convinti come sono di possedere l’unica vera cultura. Come rileva Carl Boyer, Severo Sabokt reagisce a quel disprezzo per le culture altre, così poco saggio, così poco colto. E ricorda, a coloro che parlano greco, che «vi sono anche altri popoli che hanno qualche conoscenza scientifica». In particolare gli Indiani, i quali hanno realizzato «sottili scoperte astronomiche» e hanno messo a punto «preziosi metodi di calcolo che superano ogni descrizione […] Voglio soltanto dirvi che questi calcoli vengono effettuati per mezzo di nove segni».

Insomma, in Medio Oriente la matematica indiana è nota e gode di buona fama. Tuttavia è solo nella seconda parte dell’VIII secolo, nel 766 per la precisione, che giunge a Baghdad la copia di una delle versioni del Siddhānta, probabilmente del Brāhmasphuṭa Siddhānta, con tanto di riferimento al sistema di numerazione e alla trigonometria indiani. L’opera viene ben studiata e nel 775 è integralmente tradotta in arabo: a disposizione di tutti, anche di coloro che non conoscono l’hindu.
È bene sottolineare che la matematica e, più in generale, la scienza hindu arrivano nella nuova capitale dell’impero, Baghdad, addirittura prima – anche se non molto – della matematica e della scienza dei Greci. Nel 780 è in città, tradotto dal greco in arabo, anche il Tetrabiblos, l’opera astrologica di Tolomeo. E subito dopo vengono tradotti gli Elementi di Euclide e l’Almagesto di Tolomeo.
Cosicché alla fine dell’VIII secolo la cultura scientifica indiana e la cultura scientifica ellenistica iniziano praticamente in contemporanea a essere studiate, metabolizzate, fuse e rinnovate dai musulmani. Ha dunque ragione Carl Boyer quando afferma che il “miracolo arabo” non sta tanto nella rapidità con cui sorge l’impero, ma nella alacrità con cui i popoli del deserto assorbono il sapere dei vicini.

In realtà più che di “miracolo arabo” occorre parlare di “miracolo islamico”, perché ormai sono svariati le popolazioni e i gruppi (anche di religione differente) che vivono nel nuovo impero. E che si ritrovano, fianco a fianco, a Baghdad, contagiandosi. La matematica islamica è un esempio luminoso di questo contagio originale e creativo, foriero di nuova conoscenza. È traducendo dal sanscrito e dal greco (direttamente o attraverso il siriano) che gli islamici possono realizzare un’operazione davvero inedita: intrecciare le conoscenze geometriche occidentali con le conoscenze algebriche e aritmetiche orientali.
La geometria islamica è tutta di matrice ellenistica: fondata soprattutto sulle opere tradotte di Euclide, Archimede ed Erone. La trigonometria ha invece una matrice indiana e, proprio come quella hindu, ha un’impostazione aritmetica e non geometrica. I matematici islamici tuttavia la arricchiscono con contributi originali: introducendo, per esempio, il concetto di tangente, accanto a quelli di seno e coseno proposti dagli Indiani. Ma la creatività islamica nell’ambito della trigonometria non si limita all’introduzione del concetto di tangente, anzi tende a essere sistemica. Tanto che all’inizio del X secolo i matematici dell’impero non solo hanno definito tutte le sei funzioni classiche della trigonometria (seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante) e le loro relazioni, ma applicano regolarmente questo corpo di nuove conoscenze in vari settori delle scienze della natura, a iniziare dall’astronomia.
Sia detto per inciso, la trigonometria giocherà un ruolo di primo piano nel futuro di π.

Ma il maggiore contributo arabo alla matematica si ha, probabilmente, in campo algebrico. Il primo grande matematico dell’Islam è proprio al-Khwārizmī. Nato, probabilmente, nel Kharazm (l’odierno Uzbekistan), studia e vive a Baghdad, dove il califfo abbaside al-Ma’mūn (786-833) lo ha posto a capo della Bayt al-Ḥikma, la grande biblioteca. La Baghdad degli Abbasidi è una “città creativa” che molto somiglia alla Alessandria dei Tolomei. E la biblioteca, con i suoi 500.000 volumi, centro di lettura e di ricerca scientifica, è un aspetto significativo di questa straordinaria somiglianza.
Gli interessi scientifici di al-Khwārizmī sono molteplici, ma la matematica vi ha sempre una posizione centrale. E lui stesso ha un ruolo centrale nella storia della matematica, non solo islamica: basti dire che dal titolo della sua opera più importante, Al-jabr wa’l muqābalah, viene il moderno termine di algebra (che significa “ristabilire”; e dunque, nel contesto matematico, “ristabilire l’equilibrio di un’equazione”).

Certo, in quest’opera – che tira le fila delle conoscenze algebriche di tradizione ellenistica, persiana e indiana – al-Khwārizmī non usa simboli. Né affronta i problemi difficili dell’algebra indeterminata, cosicché quella che propone è meno avanzata sia rispetto all’algebra ellenistica di Diofanto sia rispetto all’algebra indiana di Brahmagupta. E tuttavia Al-jabr è il testo più simile a un manuale di algebra moderna che sia stato scritto nell’antichità: sia perché il termine algebra è utilizzato per intendere lo studio del calcolo e la ricerca del modo migliore di risolvere equazioni e problemi, dunque in maniera molto simile al modo in cui noi oggi l’intendiamo, sia perché affronta in maniera sistematica i problemi dell’algebra determinata, soprattutto quelli risolvibili con equazioni di secondo grado. Insomma quella di al-Khwārizmī è una grande opera di didattica algebrica. Tanto che, secondo alcuni, l’Al-jabr di al-Khwārizmī rappresenta per l’algebra ciò che gli Elementi di Euclide rappresentano per la geometria: la migliore opera elementare disponibile fino ai tempi moderni. In questo senso al-Khwārizmī può essere considerato “il padre dell’algebra”, proprio come Euclide è considerato il “padre della geometria”.
Al-jabr è l’opera principale, ma non l’unica di al-Khwārizmī. Gli si attribuiscono più di una dozzina di opere, sia di matematica sia di astronomia. Per la gran parte fanno riferimento molto più alle conoscenze prodotte dalla scienza indiana che non a quella ellenistica o persiana. Il capo della grande biblioteca di Baghdad non pretende affatto una qualche originalità. Anzi, riconosce apertamente l’origine indiana della sua esposizione, inclusa quella relativa al sistema di numerazione posizionale. In definitiva: è solo una cattiva trasmissione del sapere che in Europa finirà per attribuirgli per lungo tempo ciò che lui stesso non ha mai preteso.

Al-Khwārizmī non è certo il solo matematico nato nel mondo islamico. Nel IX secolo, per esempio, è al lavoro anche Thābit ibn-Qurra (826-901). Per lui, a maggior ragione, vale quanto detto per al-Khwārizmī: più che un matematico originale è un grande commentatore di matematica, un po’ come Pappo. Gran traduttore, riscrive in arabo le opere di Euclide, Archimede, Apollonio e Tolomeo. E non si limita a coltivare la matematica: produce anche nuova conoscenza originale (per esempio nel campo dei numeri amicabili). È poi un innovatore in astronomia: è lui che riforma il sistema astronomico greco, aggiungendo una nona sfera alle otto del sistema aristotelico-tolemaico.
Tra le tante opere tradotte da Thābit mancano quelle di Diofanto e dello stesso Pappo. Il primo diventa noto agli Arabi solo nel X secolo, tradotto da Abu’l-Wafā (940-997), ed è studiato a fondo da al-Karkhī (953-1029): a riprova che nel mondo islamico è conosciuta a fondo tutta la matematica ellenistica, oltre che quella indiana.
Un altro matematico originale è Omar al-Khayyām (1048-1131), che diventerà noto in Europa soprattutto come poeta, ma in grado di apportare notevoli contributi allo sviluppo dell’analisi algebrica. Scrive, tra l’altro, un’opera intitolata Algebra e studia le equazioni di terzo grado, proponendo metodi generali di soluzione a carattere geometrico. Scopre – in contemporanea, peraltro, con i matematici cinesi, probabilmente grazie a una reciproca conoscenza e influenza – le regole per trovare le potenze di un binomio di ordine superiore al tre.
Al di là dei singoli personaggi, comunque, è l’insieme della conoscenza matematica islamica che ci interessa.

È vero che molti storici, come Charles Singer, sostengono che al-Khwārizmī non sia affatto un matematico originale. E che in ogni caso il livello, pur elevato, che raggiunge la matematica islamica resti inferiore a quello raggiunto in geometria dagli ellenistici e in algebra dagli Indiani. Mentre gli islamici, compreso al-Khwārizmī, sarebbero davvero bravi nell’applicare la matematica alla fisica.
Ma se questo è vero, sono vere anche altre due constatazioni. I matematici islamici sono molto bravi a mettere insieme la geometria ellenistica e l’algebra indiana, raggiungendo con questa fusione un inedito livello di conoscenza matematica. Tuttavia il contributo islamico allo sviluppo della matematica va ben oltre la mera assimilazione e fusione della matematica ellenistica e di quella indiana (opera che, da sola, sarebbe comunque eccezionale). L’Islam ha contribuito con un suo apporto originale allo sviluppo della matematica. E ha consentito all’Europa di scoprirla, a partire dal XIII secolo.
A supporto di questa tesi, prendiamo il caso di Jamshīd al-Kashī (1380-1429), autore nel 1424 di al-Risāla al-muhītiyya, un trattato sul cerchio. Nato a Kashan, nell’odierno Iran, al-Kashī è un matematico originale, soprattutto nel campo della trigonometria: ancora oggi conosciamo, per esempio, il “teorema di al-Kashī”. È accreditato come colui che ha introdotto in Occidente le frazione decimali. Ebbene, al-Kashī applica il metodo di esaustione di Archimede e calcola il valore di π (in realtà di 2π) fino alla sedicesima cifra decimale (e alla nona cifra nel sistema sessagesimale). Non è originale nel metodo, ma dopo novecento anni supera (e di molto) la precisione ottenuta da Tsu Chung-Chih e da suo figlio, Tsu Keng-Chih, che si erano fermati (per così dire) alla settima cifra decimale.

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