Sapete risolvere questo problema?

Ieri il New York Times ha presentato un quizzino matematico interattivo (grazie a Leonardo Poggi che me l’ha segnalato!) Se andate qui potete provare a indovinare qual è la legge nascosta che definisce la relazione tra tre numeri. Sapete che (2,4,8) soddisfa la relazione; potete inserire quante terne di numeri volete, e vi verrà detto “Yes” oppure “No” a seconda se la terna soddisfa o no la legge. Potete provare quante terne volete, ma potete solo scrivere una volta la risposta. (Potete anche non scriverla, tanto non la legge nessuno: quando cliccate viene semplicemente mostrato un pippone oltre alla risposta). Cimentatevi pure, e quando avete finito continuate a leggere qui. Come si suol dire, “non c’è trucco non c’è inganno!”

Bene, avete indovinato oppure no? La soluzione era indubbiamente facile: per la cronaca io l’ho trovata dopo dodici tentativi (li vedete qua per vostra curiosità), sette positivi e cinque negativi. La parte più interessante è però quella non matematica. Se al NYT non si sono inventati le statistiche, il 78% di chi ha risposto (correttamente o no… per quello che non importa quello che si scrive, ma semplicemente la sequenza delle risposte ottenute!) l’ha fatto senza avere ricevuto nessuna risposta “no”, e solo il 9% ha avuto almeno tre no: il tutto nonostante non ci fosse nessuna penalizzazione per le risposte negative, né ci fosse una gara a chi risolveva il problema nel minor numero di tentativi. Tutti bravi? Per nulla, anche se non sappiamo quante siano state effettivamente le risposte corrette.

Quello che David Leonhardt segnala – con una serie di esempi politici forse un po’ troppo lunga – è il pericolo di infilarsi dritti dritti dentro il confirmation bias, vale a dire il decidere a priori che la nostra ipotesi sia corretta e quindi cercare solo prove a favore. A nessuno piace sentirsi dire dei no, in fin dei conti. Il guaio è che sono le risposte negative che ci permettono di raffinare la risposta! Questo vale in matematica come nelle varie scienze, anche se la falsificazione non è matematica. Al quinto tentativo (quattro sì e un no, con la sequenza (1,1,1) avevo già un’idea di quale fosse la soluzione, ma ho voluto fare prove esplicite con numeri decimali e negativi e con una semplice coppia di numeri uguali, per avere una maggiore certezza di essere nel giusto. Sapevo di non potere avere la certezza della correttezza della mia ipotesi, ma ho voluto eliminare alcune possibilità apparentemente simili. Poi chiaramente sarebbe stato impossibile indovinare la regola se ci fosse stata una clausola tipo “nel caso uno dei numeri inseriti è 3,14 allora la risposta è sempre “no”): ma ho scelto esplicitamente di applicare il rasoio di Occam e cercare una regola relativamente semplice. Mettiamola così: se avete fatto molti tentativi con la risposta “no” è probabile che abbiate tutte le carte in regola per essere dei bravi scienziati, anche se a scuola eravate delle capre in matematica!

Ah: non so quanti di voi abbiano mai sentito parlare del gioco di carte Eleusi. Il suo principio è lo stesso di questo problema, con la differenza che visto che si gioca contro altri ricercatori si ha un vantaggio competitivo a cercare di indovinare la regola senza sbagliare…

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