Geometria a pallini

David Hilbert, in una delle citazioni matematiche più notorie, affermò che i teoremi della geometria resterebbero gli stessi se anziché di punti, rette e piani si parlasse di tavoli, sedie e boccali di birra: quello che conta è che le relazioni definite dagli assiomi e dai postulati siano valide. L’esempio di Hilbert è chiaramente una battuta, e probabilmente nacque proprio mentre il grande matematico tedesco si trovava in una Stube, caso non certo casuale visto che lui non era certo lo stereotipo del matematico chiuso e scontroso, anzi. Qualcuno però potrebbe chiedersi se però all’atto pratico punti e rette possano essere pensati davvero in modo diverso da quello che abbiamo tutti visto a scuola, ma comunque in modo naturale: la risposta è sì, e mi accingo a mostrare un esempio pratico.

Iniziamo col definire un sistema di assiomi semplificato e quindi più trattabile, che trovate a pagina 10 del libro di Raymond Wilder Introduction to the Foundation of Mathematics (lo trovate su Internet Archive). Gli assiomi da cui partiremo sono i seguenti:

  • Assioma 1: Ogni retta è una collezione di punti.
  • Assioma 2: Esistono almeno due punti.
  • Assioma 3: Se p e q sono due punti distinti, esiste una e una sola retta che contiene p e q.
  • Assioma 4: Se R è una retta, esiste un punto che non è situato su R.
  • Assioma 5: Se R è una retta e p è un punto non su R, esiste una e una sola retta che contiene p e non ha nessun punto in comune con R.

Se avete studiato geometria piana, gli assiomi vi dovrebbero ricordare qualcosa, a parte la terminologia un po’ buffa (“contiene” anziché “passa per”, che però sono la stessa cosa, come potete verificare da soli). Abbiamo persino una versione equivalente al postulato delle parallele, che volete di più?

Il secondo passo è quello di usare una versione semplificata del gioco di carte Set. Le carte di Set hanno tutte le possibili combinazioni di quattro proprietà: numero (da 1 a 3), forma (rombo, ovale, tilde), colore (rosso, verde o viola) e riempimento (vuoto, ombreggiato, pieno). Non vi devo specificare che in tutto le carte sono 34, cioè 81. Nella versione di base del gioco occorre costruire degli insiemi (set, in inglese) di tre carte, per cui i valori di ciascuna proprietà siano tutti uguali o tutti diversi. Prendiamo ora le nove carte che fissano due proprietà (forma tonda, riempimento pieno), come nella figura qui sotto, e chiamiamole “punti”. L’insieme dei nostri “punti” sarà il nostro “piano”; le “rette” sono gli insiemi di tre “punti” che siano validi insiemi in Set.

[i nove punti del piano]

i punti del nostro “piano”

I nostri assiomi sono rispettati? Vediamolo (senza virgolette, che sono una faticaccia). Ogni retta è un insieme di tre punti, quindi vale l’Assioma 1. Ci sono nove punti, quindi vale l’Assioma 2. L’Assioma 3 è la regola di base di Set: date due carte qualunque, ne esiste una e una sola che formi un Set. Data ciascuna categoria, le due carte possono avere infatti valori identici (e allora la terza deve avere lo stesso valore), o valori distinti (e allora la terza deve avere il valore mancante). L’Assioma 4 è banalmente vero: una retta ha tre punti, ne avanzano sei. L’Assioma 5 è un po’ più complicato da verificare, come è giusto che sia: mi limito a fare un esempio. Prendiamo la retta {ADG} (stesso numero di pallini, colori tutti diversi) e il punto B (stesso colore di A, numero di pallini diverso). La retta parallela ad ADG dovrà avere colori tutti diversi e lo stesso numero di pallini, quindi sarà {BEH}.

Dimostriamo ora un semplice teorema: «Ogni punto appartiene almeno a due rette distinte». La dimostrazione è semplice.

Prendiamo un punto qualunque p. Per l’Assioma 2, esisterà almeno un altro punto q. Usando l’Assioma 3, sappiamo che esiste una retta R che contiene p e q, e per l’Assioma 4 esisterà un punto q’ non contenuto in R. Ma ancora con l’Assioma 3 possiamo costruire una retta R’ che passa per p e q’, e che evidentemente non coincide con R. Le rette R e R’ sono quelle che cerchiamo. ∎

Non è stata certo una faticaccia: però, visto che abbiamo lavorato solamente con gli assiomi, possiamo automaticamente affermare che ogni carta di Set può far parte di due Set diversi. Carino, no? Abbiamo sfruttato la potenza del metodo assiomatico (e la nostra abitudine alla geometria euclidea) per riuscire a trovare una proprietà del gioco Set. Se non fossimo stati in grado di costruire le nostre carte, avremmo potuto comunque dimostrare senza troppe difficoltà che ci sono almeno quattro carte e sei insiemi.

Queste costruzioni vi sembrano un po’ arzigogolate? Beh, potete allora passare alla geometria proiettiva, quella in cui viene aggiunta una “retta all’infinito” formata dai punti dove si “incontrano” le rette parallele. La geometria proiettiva è quella che si vede nei quadri e nelle fotografie, quindi è qualcosa di assolutamente reale anche se a prima vista un po’ sconcertante (ma solo perché siamo troppo abituati alla geometria euclidea). Bene: nella geometria proiettiva del piano esiste la proprietà della dualità. Dato un qualunque teorema o definizione, se si scambiano tra di loro le coppie di termini “punto”/”retta”, “giace su”/”passa per”, “collineari”/”concorrenti”, “intersezione”/”unione” si ottiene un nuovo teorema o definizione anch’esso vero. Lo stesso vale nella geometria proiettiva dello spazio; un questo caso i termini che si scambiano sono “punto”/”piano”, “è contenuto”/”contiene”. Come allora negare che punto e piano sono solo due nomi da cinque lettere?

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