Il teorema della pizza

Aldo ed Ester hanno preso una pizza e se la devono dividere. Aldo fa due tagli perpendicolari che però non passano per il centro della pizza, e poi fa per prendere la fetta maggiore (come nell’immagine a sinistra qui sotto). Ester lo guarda male, e allora Aldo dice “Hai ragione. Facciamo così: prendo quella insieme alla la fetta più piccola e tu quelle di mezzo, così siamo pari”. Ester lo ferma, gli prende il coltello e fa altri due tagli, che passano sempre per lo stesso punto e bisecano le fette: ora ci sono otto fette, tutte con un angolo di 45 gradi. Sorride poi al compagno, e gli dice soavemente: “Ora va molto meglio. Io prendo la fetta più grande, e poi andiamo avanti in senso orario, prendendo ciascuno la fetta successiva”. Allo sguardo perplesso di Aldo, continua: “O se preferisci la fetta grande la prendi tu, e poi proseguiamo come ho detto. Scegli pure, ma fa’ in fretta che la pizza si raffredda.” Che cosa consigliate ad Aldo di fare, a parte imparare a tagliare la pizza passando dal centro?

Un taglio in quattro parti e un altro taglio in otto parti

Un taglio in quattro parti e un altro taglio in otto parti

Per quanto riguarda il primo taglio, quello in quattro parti, direi che non c’è storia. Dovrebbe essere chiaro a prima vista che spostando opportunamente il punto di incontro delle due perpendicolari si ottiene più di mezza pizza anche solo con il pezzo più grande. (Lo so, è una dimostrazione di tipo “handwaving”: ma non preoccupatevi, prima della fine del post ce ne sarà una più valida). Per il secondo taglio, però, le cose non sono così semplici, e almeno ad occhio non è possibile avere un’idea di quale sia la parte maggiore. Il problema ha una data di nascita ben precisa, tra l’altro: venne proposto per la prima volta nel 1968 all’interno di Mathematics Magazine, ci racconta Wikipedia nella voce opportunamente denominata “Pizza theorem”. A tempo debito la soluzione venne poi pubblicata: venivano calcolate analiticamente le varie aree, e si ricavava che la somma dei settori rosa era identica a quella dei settori verdi. Insomma, Ester aveva fatto uno scherzo ad Aldo, lasciandolo nel dubbio di aver fatto la scelta sbagliata quando invece la scelta era indifferente.

Per la maggior parte della gente, la storia sarebbe finita qui. C’era un problema, era stata trovata la soluzione al problema, e non c’era più nulla da fare. Ma stiamo parlando di matematici: per loro, meglio una brutta soluzione che nessuna soluzione – ci mancherebbe altro! – ma il fatto stesso che una soluzione sia brutta significa che bisogna cercare una soluzione migliore. Così nel 1994 Larry Carter e Stan Wagon, sempre sul Mathematics Magazine, hanno dimostrato nuovamente l’uguaglianza: anzi, l’hanno mostrata, presentando un disegno – lo vedete qui sotto, sempre cortesia di Wikipedia – dove hanno fatto un’ulteriore suddivisione della pizza in modo che fosse chiaro che i due gruppi di quattro fette hanno un’area totale identica, essendo composti da parti congruenti. Come bonus, si può vedere che se avessimo diviso la pizza in quattro e non in otto, la differenza è data dalle due porzioni etichettate “g” e “G”; adesso anche i più scettici saranno convinti di quanto avevo scritto sopra.

le due partizioni sono uguali!

le due partizioni sono uguali! (da https://en.wikipedia.org/wiki/File:Pizza_proof_without_words.svg)

La storia è finita? Macché. Adesso è l’ora di generalizzare. Premesso che con tagli rettilinei si otterrà sempre un numero pari di fette, ecco i risultati che si sono dimostrati (il taglio è sempre fatto con 2n fette con lo stesso angolo):

  • Se il numero di fette è multiplo di 4 ed almeno 8, i due gruppi che si ottengono hanno area uguale.
  • Se nessun taglio tocca il centro della pizza e il numero di fette è uguale a 2 (modulo 8), sempre con l’eccezione del caso 2, allora il sottoinsieme delle fette dove c’è quella che contiene il centro ha area minore dell’altra.
  • Se nessun taglio tocca il centro della pizza e il numero di fette è uguale a 6 (modulo 8), allora il sottoinsieme delle fette dove c’è quella che contiene il centro ha area maggiore dell’altra.
  • Se un taglio tocca il centro della pizza, i due sottoinsiemi hanno la stessa area.
  • Se i due sottoinsiemi hanno la stessa area, hanno anche la stessa quantità di crosta (intesa come perimetro, o come corona circolare)
  • Se i due sottoinsiemi hanno aree diverse, chi ha l’area maggiore ha la quantità minore di crosta
  • Se la pizza è divisa in 4n parti, si può anche dividere in maniera equa se le persone sono n.

    Non so voi, ma ho come l’impressione che ai matematici la pizza piaccia…

    Post Scriptum: esiste anche un altro teorema sulla divisione della pizza. Stavolta abbiamo tanti settori circolari, vale a dire che la pizza è stata tagliata a partire dal centro in tanti “triangoli”. Dopo il taglio, Aldo sceglie il primo pezzo, e poi entrambi i giocatori prendono a turno un pezzo a uno dei due estremi del resto della pizza: insomma non possono dividerla in due parti. Bene: anche se non sembra, Ester – che ha tagliato opportunamente la pizza… – può fare in modo che Aldo ne mangerà meno della metà nonostante sia lui il primo a iniziare! Per la precisione, Ester può tagliare la pizza in modo che Aldo ne possa al più mangiare i 4/9. I curiosi possono trovare qui la dimostrazione. Ribadisco: ai matematici la pizza piace.

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