Quando i matematici sbagliano

A quanto pare i neutrini non vanno più veloci della luce: o perlomeno dal Cern hanno appena comunicato che nelle misurazioni «c’era un problema con il cavo in fibra ottica che connette il ricevitore gps usato per registrare i tempi di spostamento dei neutrini con una scheda nel computer». Cose da non credere. Ma non penserete mica che i matematici siano immuni da questo tipo di errori? Macché! La storia della matematica presenta tanti esempi di dimostrazioni che non lo erano affatto, o di assunzioni talmente tanto ovvie da risultare poi false. Non sto parlando delle fallacie che nascono apposta per “dimostrare” qualcosa di errato, come quelle che mostrano come 1=2 oppure che π = 2; e nemmeno delle congetture che poi si è scoperto essere false, visto che la definizione stessa di congettura lascia spazio ai dubbi. No, intendo proprio teoremi la cui dimostrazione è stata poi scoperta essere falsa; a volte si è riusciti a metterci una pezza, altre volte no.

Il caso più eclatante, o almeno noto anche a chi matematico non è, è forse quello dell’ultimo Teorema di Fermat. Pierre de Fermat aveva semplicemente affermato di avercela, una dimostrazione, ma visto che non l’ha scritta da nessuna parte in realtà i matematici sono sempre partiti dall’ipotesi che il teorema fosse da dimostrare: ma quando nel 1993 Andrew Wiles pubblicò la sua dimostrazione dovette poi riconoscere che c’era un errore, e passarono altri quindici mesi prima di trovare una nuova dimostrazione accettata dalla comunità matematica. Peggio ancora andò con il teorema dei quattro colori: le due dimostrazioni essenzialmente distinte di Kempe e Tait del 1879 e 1880 rispettivamente furono mostrate entrambe errate undici anni dopo, e si dovette aspettare fino al 1977 per una dimostrazione definitiva… almeno per chi accetta che sia un computer e non un umano a verificare un numero stratosferico di possibilità.

Neppure la geometria è immune da tutto questo: pur riconoscendo che i matematici non hanno mai dato troppo peso all’affermazione di Girolamo Saccheri di aver vendicato Euclide da ogni macchia, e quindi non considerando la creazione delle geometrie non euclidee come la conseguenza di avere trovato una dimostrazione errata, l’ottimo matematico ellenista si era comunque dimenticato qualcosa: ho già raccontato di come nel 1882 il matematico svizzero Moritz Pasch notò che con i postulati euclidei non si era in grado di dimostrare che una retta che taglia un lato di un triangolo debba necessariamente tagliarne anche un altro, oppure passare per il vertice comune agli altri due lati. Duemila anni per accorgersi di un sistema assiomatico incompleto non sono affatto pochi, vero? È andata meglio con l’analisi matematica, dove l’assunzione che una funzione continua fosse anche derivabile è resistita solo per un centinaio di anni, prima di trovare controesempi sempre più pazzi come il fiocco di neve di Koch che è continua in tutti i suoi punti ma non è derivabile in alcuno di essi.

Tornando alla geometria, il problema di Malfatti consiste nell’inscrivere tre cerchi in un triangolo in modo che abbiano l’area complessiva massima: la soluzione proposta nel 1803 da Gian Francesco Malfatti, vale a dire tre cerchi ognuno dei quali è tangente a due lati diversi del triangolo e agli altri due cerchi, fu poi provata falsa in casi sempre nuovi fino a che nel 1967 Michael Goldberg ha dimostrato che era sempre errata. Il problema di Kakeya, trovare la figura di area minore all’interno della quale un segmento unitario poteva ruotare di 180 gradi, ha una soluzione abbastanza facile se si impone che la figura sia convessa: un triangolo equilatero di latoaltezza 1. Ma in generale si può far di meglio, e si era “dimostrato” che una ipocicloide, una specie di triangolo con i lati concavi, era la superficie richiesta… fino a quando il matematico russo Besicovitch mostrò che l’area poteva essere resa piccola a piacere! Per la precisione bisognò aspettare che Besicovitch emigrasse dalla Russia. Ai tempi non c’era ancora internet, così il giapponese Kakeya, il russo Besicovitch e i matematici europei, americani, indiani mica sapevano cosa facevano i loro colleghi!

Ma allora la matematica è tutta una bufala? Com’è che si possono avere dimostrazioni errate senza che nessuno se ne accorga per mesi, per anni, per millenni? Beh, la risposta è semplice. I matematici sono esseri umani, che quindi sbagliano come tutti. Una dimostrazione è sempre un compromesso: non si può pretendere di dedicare cento e più pagine a dimostrare che 1+1=2, come fecero Russell e Whitehead nei Principia Mathematica, e quindi il testo di una dimostrazione lascia sempre qualcosa al lettore. Il lettore stesso può essere di bocca più o meno buona: per me le “sketch of proof” che ogni tanto ho trovato erano assolutamente complete, ma credo di essere in minoranza. Tutto questo significa che può sempre darsi il caso che prima o poi si scopra qualcosa che non va, e quindi bisogna rivedere le proprie certezze. Vediamo le cose dal lato positivo: anche la matematica non è così disumana!

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