risposte ai problemini pasquali

Ecco le risposte ai problemi della scorsa settimana, per chi non avesse avuto voglia o coraggio di leggere i commenti!

Per la cronaca, i primi quattro problemi sono tratti dalla 2011 Daily Puzzle Challenge del National Council of Teachers of Mathematics, mentre il quinto è un classico di Henry Dudeney.

1. Siamo nel 2011
La soluzione è
1+2345*6/7
(le parentesi non servono, visto che la priorità dell’addizione è minore di quella di moltiplicazione e divisione.

Si accendano le luci!
(a) Dato un numero qualsiasi N, i custodi che azioneranno l’interruttore corrispondente sono quelli che hanno un numero che è un fattore del numero dato. Ma per ogni k che è fattore di N, per definizione anche N/k è un fattore di N, quindi ogni interruttore viene azionato un numero pari di volte… tranne nel caso in cui N sia un quadrato perfetto, perché N/√k è associato a sé stesso. Quindi le lampadine accese corrispondono ai numeri che sono quadrati perfetti, cioè 1, 4, 9, 16 e 25.
(b) È chiaro che il custode numero 1 non ha scioperato, visto che la lampadina corrispondente è accesa. Lo stesso vale per i numeri primi da 2 in poi, visto che nessun altro avrebbe potuto spegnere le lampadine corrispondenti; e a questo punto tutti i prodotti di numeri primi diversi non hanno potuto scioperare (lo si dimostra per induzione sul numero di fattori del prodotto, vi fidate o lo devo spiegare nei commenti?) In compenso tutti i numeri quadrati perfetti hanno scioperato (il numero di fattori distinti di kN2 è 3, ma visto che 1 e k hanno lavorato il terzo deve avere scioperato), e di nuovo si dimostra per induzione che anche i loro multipli hanno scioperato. Quindi la risposta è «hanno scioperato i custodi il cui numero, fattorizzato, contiene un quadrato diverso da 1»: 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28. Undici su 30, poco più del 35%: non so se lo sciopero sia stato un successo.

3. L’ago nel pagliaio
Ci sono parole di sei lettere come PAGODA e BAOBAB, ma la parola più lunga che io sia riuscito a trovare è ADDOBBO.

4. Tre volte tre
L’addizione era facile: 3+3+3=9. Per le altre operazioni:
sottrazione: 33! – (3!)!
moltiplicazione: √(33 * 3)
divisione: 33 / 3

5. Acqua, luce e gas
La chiave per riuscire a risolvere il problema (a parte modificare l’universo in modo tale che non sia più una superficie sferica ma la superficie di una ciambella…) è accorgersi che le case non sono puntiformi, e nulla nel testo del problema vieta di far passare la conduttura attraverso una casa. La figura qui sotto mostra una possibile soluzione.
soluzione

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