Problemini matematici pasquali

Ho pubblicato dei problemi non natalizi per Natale, vorrete mica che non pubblichi dei problemi non pasquali per Pasqua? Le risposte, al solito, tra una settimana; il primo maggio, che tanto non c’è mai nulla da fare.

1. Siamo nel 2011
Inserite tre segni aritmetici (+,x,-,:) e le parentesi eventualmente necessarie tra le cifre qui sotto per ottenere 2011:

  1   2   3   4   5   6   7

Se per esempio si dovesse ottenere 2154 la risposta sarebbe 12 + 34*(56+7).

2. Si accendano le luci!
(a) In un lunghissimo corridoio del Museo della Matematica ci sono trenta lampadine; ogni lampadina ha un interruttore che la accende o la spegne. Al mattino tutte le lampadine sono spente; i trenta custodi del museo entrano a uno a uno e azionano gli interruttori in un modo peculiare. Il custode 1 aziona tutti gli interruttori, accendendo così tutte le lampadine. Il custode 2 aziona solo gli interruttori di posizione multipli di 2, spegnendo quelle lampadine. Il custode 3 aziona l’interruttore 3, il 6, il 9 e tutti gli altri multipli di 3, accendendo alcune lampadine e spegnendone delle altre; e in genere il custode n aziona gli interruttori multipli di n. (In pratica quelli dal numero 16 al 30 si limitano ad azionare un singolo interruttore, tanto per essere chiari). Quali lampadine risultano accese?
(b) Un giorno è stato indetto uno sciopero, e alcuni dei custodi non sono presenti. Gli altri continuano la loro procedura come se nulla fosse successo, e alla fine l’unica lampadina accesa è la numero 1. Chi è stato a scioperare?

3. L’ago nel pagliaio
Se prendete un font “tondo” come per esempio il Century Gothic, ci sono sette lettere che vengono scritte con un bel cerchio: per la precisione a, b, d, g, o, p, q. (Non garantisco che voi vediate la “a” correttamente, ma pensate a quella scritta in corsivo).
Qual è la parola più lunga che riuscite a scrivere usando solamente queste lettere, eventualmente ripetute?

4. Tre volte tre
Non è certo difficile riuscire a ottenere 9 usando soltanto tre 3 e le quattro operazioni fondamentali +, -, x e :. Può essere però più problematico ottenere 9 in quattro modi diversi, usando tre 3 e una soltanto di queste operazioni per volta; insomma una volta solo con la somma – e qua direi che non ci sono troppe difficoltà, vero? – una solo con la sottrazione, una solo con la moltiplicazione e una solo con la divisione. Sono però ammessi gli altri operatori standard in questi problemi: giustapposizione di cifre (dica 33…), elevamenti a potenza, radici quadrate, fattoriali, virgole decimali.

5. Acqua, luce e gas
Gli allacciamenti ai servizi di utilità sono sempre molto complicati. In questo caso abbiamo tre centraline, una per l’acqua, una per la luce e una per il gas (la linea dati per fortuna è wireless, quindi non la dobbiamo considerare) e tre case, e il nostro compito è collegare mediante dei condotti – rappresentati da linee – ciascuna delle case con tutte e tre le centraline.
Ci sono però dei vincoli ben precisi: tutti i collegamenti devono essere planari, quindi i condotti non possono passare uno sopra l’altro, ed è rigorosamente vietato che due condotti si intersechino.
Non credete alle cassandre che vi sussurrano che il compito è impossibile: vi assicuro che una risposta esiste!

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