Risposte ai problemini natalizi

Ecco qua le risposte ai problemini che avevo lasciato il giorno di Natale.

1. Quadrati e radici quadrate
La funzione f(n)=(n+√n) è crescente, e la differenza tra i valori corrispondenti a due interi successivi è sicuramente compresa tra 1 e 2. Preso un qualunque quadrato (k+1)², mostriamo come ci siano due valori consecutivi n e n+1 tali che rispettivamente f(n) < (k+1)² – 1/2 e f(n+1) > (k+1)² + 1/2, e quindi i valori arrotondati saranno rispettivamente (k+1)² – 1 e (k+1)² + 1. Più precisamente che possiamo prendere n=k²+k.
La prima disuguaglianza infatti si può scrivere come k²+k + √(k²+k) < (k+1)² – 1/2 = k²+2k + 1/2, da cui √(k²+k) < k + 1/2; prendendo il quadrato, abbiamo k² + k < k² + k + 1/4, banalmente vero. Per la seconda disuguaglianza, abbiamo k²+k+1 + √(k²+k+1) > (k+1)² + 1/2 = k²+2k + 3/2, da cui √(k²+k+1 ) > k + 1/2; prendendo i quadrati anche in questo caso, otteniamo k² + k + 1 > k² + k + 1/4, di nuovo banalmente vero. QED.
Nel caso vi chiedeste come mi siano venute in mente queste disuguaglianze, la risposta è semplicissima: ho provato a calcolare i primi valori di round(n+√n), fino a n=15, e ho ricavato una legge empirica di quello che sembrava accadere. A questo punto, sapendo dove volevo arrivare, è stato relativamente facile fare i conti.
Ultima curiosità: avrei anche una dimostrazione (quasi) senza parole per la prima disuguaglianza, che purtroppo non si può applicare alla seconda. Riuscite a trovarla?
(via Math-Frolic!)

2. Potenze di cinque
25 = 5²
125 = 5^{1 + 2}
625 = 5^{6 – 2}
3125 = (3 + (1 × 2))⁵
15625 = 5⁶ × 1²⁵
78125 = 5⁷ × 1⁸²
(via Futility Closet)

3. Rosso e blu
Costruite un triangolo equilatero di lato 1: i suoi tre vertici dovranno necessariamente avere tre colori diversi.

Qual è il numero minimo di colori necessario per ricoprire il piano senza che ci siano due punti dello stesso colore a distanza esattamente 1? Non lo so. Nella figura sopra si vede una colorazione che richiede nove colori. I quadrati sono di lato 0,7, quindi due punti nello stesso quadrato sono a distanza minore di 1, mentre due punti in quadrati distinti dello stesso colore sono a distanza maggiore di 1. Ma si puo fare sicuramente di meglio :-)
(via Futility Closet; l’estensione è mia)

4. Volta la carta
Scambiate di posto le due carte in basso (l’8 e il 9) avendo cura di ribaltarle di 180 gradi, in modo che diventino un 6 e un 8. A questo punto entrambe le colonne avranno come somma 18.
Se qualcuno obietta che non è lecito ruotare le carte, potete comunque trovare una soluzione che preveda solo traslazioni e muove quattro carte! Spostate il 3 dalla colonna di destra a quella di sinistra, e spostate 4 e 9 in una nuova colonna. Controllate pure il testo originale: c’è scritto «di tutte le file», non «delle due file»… Oppure, se preferite fare in altro modo, scambiate di posto il 5 e il 9 e mettete l’1 a sinistra del 2 per ottenere un 12. In questo modo, la somma delle due colonne è 24. Controllate pure il testo originale: c’è scritto «la somma dei numeri», e 12 è indubbiamente un numero…
(via Smart Kit, a cui ho rubato anche la figura; ma il problema risale almeno a Henry Dudeney. Le altre soluzioni sono mie)

5. La generazione dei quadrati
La soluzione è mostrata qui sotto. Vi siete accorti che c’è anche un quadrato di lato due fiammiferi, vero?

(un problema classico, chissà chi l’ha proposto la prima volta… anche se in genere lo si vede alla rovescia)