Il quinto postulato di Euclide

Ci sono argomenti che non possono non essere trattati da chi si occupa di divulgazione matematica. Non ho mai capito se è semplicemente a causa di un “effetto pecora” o perché la gente li trova effettivamente interessanti; il guaio è cercare di trovare un modo almeno un po’ diverso dal solito di trattarli. Stavolta mi occupo di geometrie non euclidee: vediamo se ce la faccio a non annoiare chi sa già tutto a riguardo.

La geometria è studiata a scuola da due millenni e mezzo, direi. Si fa geometria da molto più tempo, naturalmente; ad esempio, il fatto che un triangolo di lati 3,4,5 è rettangolo è una cosa nota già agli antichi egizi. Ma sono stati i greci a inventarsi il concetto di dimostrazione, vale a dire fornire una serie di passi logici che portano ad asserire senza ombra di dubbio la validità dell’affermazione data a partire da una serie di assunti iniziali intuitivamente corretti. E sicuramente la vetta di questo modus operandi è stata raggiunta con gli Elementi di Euclide, dove la geometria viene tutta definita a partire da un insieme di definizioni, tipo «punto è ciò che non ha parti», e da un piccolo gruppo di affermazioni da prendere “naturalmente” come vere; ci sono cinque assiomi (cose che sono generali), tipo «se due cose sono entrambe uguali a una terza, allora sono uguali tra loro» oppure «il tutto è maggiore della parte») e cinque postulati (cose che sono specifiche della geometria).
Ecco il testo dei postulati:

1. Si può sempre costruire un segmento che passi per due punti dati.
2. Un segmento di retta può venire esteso a piacere.
3. Dato un segmento, si può sempre costruire un cerchio con centro un estremo del segmento e raggio il segmento stesso.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
5. Se due linee sono disegnate in modo da intersecarne una terza in modo che la somma degli angoli interni, da un lato, sia minore di due angoli retti, allora le due linee, se sufficientemente prolungate, si intersecheranno tra loro da quello stesso lato.

Si vede subito che il quinto postulato è molto più complicato degli altri, e stona parecchio. Euclide stesso ne doveva essere convinto, tanto che lo usa solo per ultimo, dopo aver dimostrato il (relativamente poco) dimostrabile usanodo solo gli altri quattro. Ma perché l’ha enunciato in quel modo? Come ho già scritto in passato, Euclide come tutti i greci non vuole avere a che fare con l’infinito attuale, e quindi non assume come postulato la nozione di parallela; negli Elementi l’esistenza di rette parallele è pertanto un teorema. Già da questa mia frase probabilmente avete capito come ci sia una certa qual libertà nello scegliere quale affermazione prendere com postulato e quali dimostrare come teorema: molti matematici hanno così pensato di usare un’altra affermazione che sembrasse più naturale. La formulazione che si usa di solito oggi è ad esempio il postulato di Playfair, specificato da John Playfair nel 1795: dato un punto P e una retta l che non passa per P, nel piano definito da l e P esiste una e una sola retta passante per P e parallela a l. (Chi parla piemontese può vederselo anche qua…) Ma si può per esempio postulare che «la somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi», oppure che «esistono triangoli simili», cioè con gli stessi angoli ma lati diversi. Euclide avrebbe potuto scegliere queste altre formulazioni, che sono certamente più brevi; immagino non l’abbia fatto perché implicano concetti più complessi.

La situazione non era chiaramente ottimale. Nei secoli a seguire, e ancor più man mano che il nome di Euclide diventava simbolo della perfezione della geometria rispetto alle vili altre scienze, decine di matematici si sono prodigati a trovare un modo per eliminare il bisogno di quel quinto postulato, ricavandolo dagli altri quattro. Il tutto naturalmente senza alcun risultato. L’approccio più avanzato avvenne nel 1733, quando Girolamo Saccheri decise di approcciare il problema dal punto di vista opposto. Proviamo a immaginare che quel postulato sia falso e sostituiamolo con uno “vero”, disse, e vediamo quello che succede. Nel caso si assumesse l’impossibilità di tracciare una parallela a una retta per un punto esterno – come vedete anche Saccheri usava quello che poi sarebbe stato chiamato postulato di Playfair – arrivò rapidamente ad accorgersi che una retta non poteva essere infinita, e quindi stabilì una contraddizione; nel caso in cui si potevano tracciare (almeno) due parallele, iniziò a sfornare teoremi su teoremi diversi da quelli classici. Purtroppo Saccheri era un pavido, o più facilmente i tempi non erano ancora maturi; così a un certo punto definì un risultato che aveva trovato «ripugnante al senso comune», dichiarò chiusa la questione, e si affrettò a scrivere un libro dal titolo «Euclides ab omni naevo vindicatus» («Euclide vendicato da ogni macchia»; la parola latina naevus ha dato il nostro termine neo, ma il significato è mutato)

Non che il resto della comunità matematica avesse accettato il ragionamento di Saccheri, tanto che nel 1759 D’Alembert scrisse che il problema delle parallele è «lo scandalo degli elementi della geometria». La situazione rimase comunque la stessa ancora per vari decenni; Gauss stesso si mise a studiare il problema, e in una lettera del 1799 al suo amico Wolfgang Bolyai (tenetevi a mente il cognome! E già che ci siete, sappiate che Wolfgang è il nome germanizzato, ma lui era ungherese e il suo vero nome era Farkas) racconta che aveva proseguito il lavoro di Saccheri e trovato molti altri “teoremi stranissimi”, ma nessuno che lui ritenesse impossibile. Come esempio, notava che il quinto postulato era equivalente al teorema «L’area di un triangolo può essere grande a piacere», e continuava dicendo che tanti altri si sarebbero accontentati, ma lui no. Addirittura il grande matematico tedesco fece una prova pratica, misurando gli angoli formati da tre montagne; il risultato fu di 180 gradi e 15 secondi, ma i margini di errore erano maggiori della differenza trovata. Gauss però non pubblicò mai i suoi risultati, convinto che il mondo è fatto di beoti che non si sarebbero subito messo a strepitare a prescindere. E in effetti proprio in quegli anni Kant aveva sentenziato che lo spazio (euclideo, diremmo oggi) era un assoluto, una delle poche certezze granitiche che gli uomini possono avere.

Ma ormai i tempi erano maturi, e il diciannovesimo secolo vide una svolta completa… ma di quello parleremo un’altra volta.

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