Il paradosso di san Pietroburgo

La seconda città della Russia non è certo nota per avere mantenuto il proprio nome nel ventesimo secolo. Da san Pietroburgo i bolscevichi hanno prima russificato il nome in Pietrogrado e poi l’hanno intitolata al padre della patria; caduto il comunismo, Leningrado ha infine ripreso il nome originale. Pensate a quanti documenti rifatti. Ma per i matematici la città, oltre a essere intimamente legata al nome di Eulero, è anche nota per un paradosso davvero incredibile.

Immaginate di essere al Casinò di san Pietroburgo – ce ne sarà uno? Ce ne sarà mai stato uno? Facciamo finta di sì – e di trovarvi una sala con un gioco molto particolare, che il croupier presenta con un “si vince sempre”. Il gioco è molto semplice: chi vuole cimentarsi paga una certa somma specifica, e poi inizia a lanciare una moneta, avendo preventivamente scelto se puntare sulla testa o sulla croce. Supponiamo che la sua scelta sia caduta sulla croce. Se al primo lancio esce croce, il gioco finisce e il giocatore riceve un rublo. Se invece è uscita testa, il giocatore rilancia la moneta; anche stavolta se esce croce il gioco finisce ma questa volta i rubli vinti sono due, mentre se esce testa si va avanti. Se capita per la prima volta croce al terzo lancio si vincono quattro rubli; al quarto, otto rubli; al quinto, sedici rubli e via raddoppiando. Come in tutti i giochi di questo tipo dovete immaginare che il tutto possa proseguire all’infinito e il banco abbia sempre da pagare. L’affermazione del croupier è dunque vera; si vince sempre. Allora, quanto dovreste pagare per il diritto di fare una partita, in modo che il gioco risulti equo? Due rubli? Cinque? Dieci??

Facciamo i conti. Abbiamo probabilità 1/2 di finire la partita al primo lancio e vincere un rublo; questo caso vale quindi mezzo rublo. (Per chi non lo sapesse: data una distribuzione di probabilità p1, … pn con vincite relative V1, … Vn, la vincita media è data dalla somma dei prodotti p1V1, … pn pV) In caso contrario, abbiamo (1/2) * (1/2), cioè 1/4, di probabilità di finirla al secondo lancio; aggiungiamo alla nostra vincita media (1/4) * 2 = mezzo rublo. Se si finisce al terzo tentativo, al valore atteso viene sommato (1/8) * 4 = mezzo rublo: al quarto, si somma (1/16) * 4 = mezzo rublo, e via discorrendo. Notato nulla di strano? La somma di tutti questi valori parziali è infinita. Quindi qualunque quantità di denaro siamo disposti a sborsare per fare una partita sarà sempre troppo poco, e il croupier negherà gentilmente il permesso di iniziare la partita, per non far perdere il banco.

Il paradosso, come molti di quelli che riguardano l’infinito, è del tutto corretto in teoria ma non funziona in pratica. Perché funzioni, infatti, richiede non solo la possibilità di proseguire il gioco per un tempo indefinito ma anche e soprattutto l’assunzione che il banco abbia a disposizione una riserva infinita di denaro! Per dare un’idea, se invece che un rublo la prima vincita fosse di un centesimo di euro dopo una sequenza di cinquantun lanci favorevoli consecutivi raggiungeremo il prodotto annuo lordo italiano, e altri dieci lanci ci farebbero superare la ricchezza globale del pianeta Terra. Sì, è vero che la probabilità di ottenere sessanta volte di fila testa è così infima da risultare praticamente nulla; ma la fregatura è proprio in quel “praticamente”, che come sapete in matematica non ha cittadinanza. Non appena si mette un limite alla vincita massima, il costo di una partita perché il gioco sia equo crolla; se il massimo che si può vincere è per esempio un milione di rubli – che non sono certo poco – la vincita media si attesta sotto i dieci euro e mezzo; se si potesse arrivare a vincere fino a un miliardo di rubli, la vincita media sale solo di altri cinque euro. Non molto, vero? Ecco insomma un modo per vedere che l’infinito può essere davvero molto lontano dalla realtà!

Ah: già che ci sono vi faccio notare che la martingala, la teoria secondo cui per vincere sicuramente alla roulette basta raddoppiare la puntata ogni volta che si perde, è strettamente collegata a questo paradosso. Anche nel caso della martingala, infatti, la procedura funziona solamente se sia il giocatore che il banco hanno un patrimonio infinito e sono eventualmente disposti a giocare all’infinito…

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