L’albergo di Hilbert

A metà del diciannovesimo secolo i matematici avevano trovato un metodo di addomesticare l’infinito, evitando accuratamente di arrivarci: gli infinitesimi dell’analisi matematica erano eliminati in un tripudio di delta ed epsilon, così come le serie infinite venivano viste come un insieme di troncamenti sempre più in là. La matematica sembrava ormai stabilizzata, e Leopold Kronecker si beava affermando che “i numeri interi sono stati creati da Dio, tutto il resto è opera dell’uomo”. Ma non bisogna mai fidarsi dei tedeschi quando decidono di prendere le cose alla lettera!

Ricordate che Galileo aveva affermato che non si poteva parlare di un “numero uguale a infinito”, perché si giungeva al paradosso che era uguale a una sua parte propria? Bene: Georg Cantor partì proprio da questa affermazione e definì un insieme infinito proprio in questo modo. Tra l’altro, la cosa curiosa è che oggidì la definizione usuale di insieme finito è ”un insieme che non è infinito”, giusto per mostrare come non sia affatto semplice dare definizioni di base in questo campo. Forse questa definizione vi sembrerà normale, il che significa che questo secolo abbondante non è passato invano. C’è infatti dietro di essa un cambio di paradigma, come direbbero i filosofi! Per la prima volta non parliamo di infinito potenziale come i greci e gli analisti dell’Ottocento, né di infinito formale come Eulero e i primi analisti, ma abbiamo un infinito attuale, qualcosa che possiamo toccare con mano – si fa per dire, d’accordo. Però Cantor ha anche pensato a un modo per indicarlo: avendo ormai terminato le lettere latine e quelle greche, è passato a quelle ebraiche e ha indicato con ℵ0 – si legge alef-zero – il numero infinito che indica quanti sono i numeri interi. Più precisamente ℵ0 è la cardinalità di un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri interi, che cioè è numerabile; c’è l’elemento 1, il 2, il 3, e via contando.

Naturalmente non basta buttar giù una definizione per avere qualcosa di utile: occorre che la definizione non sia incoerente, e che permetta di tirare fuori qualcosa di inaspettato. Questa definizione di infinito in efetti porta a conseguenze interessanti, come quella che dal nome dell’altro matematico tedesco David Hilbert (che affermò “Nessuno ci scaccerà dal paradiso che Cantor ci ha procurato“…) prende il nome di Albergo di Hilbert. L’albergo di Hilbert ha un numero infinito di stanze, tutte numerate da 1 in su: è un posto molto gettonato, e tutte le sue stanze sono occupate. (No, non c’è bisogno di fare chissà quale strada per arrivare alla vostra camera; le stanze sono infatti messe su una curva di Peano, quindi ci sono tante scorciatoie per raggiungere ad esempio la numero 12345678901234567890.) Una sera arriva un ospite senza prenotazione; il direttore dell’albergo non si scompone, accende il microfono per il sistema di informazioni e avvisa i signori ospiti che si devono spostare nella camera col numero successivo; 1 → 2, 2 → 3, 999999 → 1000000 e così via. Le tariffe dell’albergo di Hilbert sono in effetti economiche, ma prevedono l’obbligo di dover cambiare stanza nel caso la direzione ne ravvisi la necessità.

La stanza 1 rimane così libera e la chiave viene consegnata al nuovo ospite. Fuori di metafora, non solo abbiamo dimostrato che ℵ0 + 1 = ℵ0, ma abbiamo anche trovato una corrispondenza biunivoca esplicita tra un insieme di ℵ0 elementi e uno di ℵ0+1. Attenzione! l'”addizione” con i numeri infiniti non segue le regole a cui siamo abituati; ad esempio non possiamo semplificare i due ℵ0 e ottenere 1=0. Usare l’infinito attuale richiede insomma di cambiare tutta una serie di regole, bisogna essere flessibili. Anche la definizione di uguaglianza è un po’ diversa: perché due insiemi A e B abbiano la stessa cardinalità non è necessario trovare una corrispondenza biunivoca, come ho scritto sopra, ma basta dimostrare che A può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme di B e B può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme di A.

[infiniti infiniti]Ma l’albergo di Hilbert non si limita a trovare posto per uno o centomila nuovi arrivati! Una settimana dopo giunge infatti all’albergo un pullman contenente un numero infinito (numerabile) di turisti. Il direttore dà loro un’occhiata distratta, torna al microfono e comunica ai signori ospiti di spostarsi dalla stanza n alla stanza 2n. In questo modo rimangono libere tutte le stanze di numero dispari, che sono infinite; anche questa volta tutti i nuovi arrivati si possono accomodare senza problemi. In formule, abbiamo appena dimostrato che 2 · ℵ0 = ℵ0. La vera apoteosi si raggiunge quando per assistere alla finale dell’Infinity Cup arrivarono infiniti (numerabili) pullman, ciascuno con infiniti (numerabili) turisti! Questa volta il direttore si gratta per qualche minuto la testa, poi sorride, canticchia tra sé “nema problema!”, prepara un disegno – mostrato qui a destra – e lo manda sugli schermi tv di tutte le stanze dell’albergo.

Le colonne del disegno rappresentano gli ospiti originari (1, 2, 3, …) e i turisti nei vari pullman (A1, A2, A3… per il primo, B1, B2, B3, … per il secondo, e così via). Abbiamo insomma un quadrato che si estende indefinitamente in due direzioni. Il colpo di genio del direttore dell’albergo è di mettersi a contare i presenti non per lungo o per largo, ma in diagonale. In effetti qui abbiamo un metodo bustrofedico, cioè alternativamente nelle due direzioni; ma è solo perché il direttore non aveva voglia di fare freccette troppo lunghe nel disegno da mandare ai vari ospiti. Il ragionamento comunque è simile: per prima cosa si trova un sistema per pesare i vari punti, in questo caso associando a ciascuno di essi un singolo numero pari alla somma delle sue coordinate cartesiane. Per ciascun valore si ha un numero finito di punti associati ad esso, e quindi è possibile ordinarli man mano, ottenendo ancora una volta un insieme numerabile. In formule, abbiamo dimostrato come ℵ0 · ℵ0 = ℵ0.

A vedere questa nuova aritmetica, si direbbe che non c’è poi chissà quale divertimento ad avere aggiunto ℵ0; le operazioni che si possono fare con esso sono piuttosto banali. Ma Cantor si accorse, e soprattutto dimostrò, che ci sono infiniti “più infiniti” di ℵ0… come vedremo un’altra volta.

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