Problemini per Natale 2016

Ecco qua gli usuali cinque problemini che possono essere usati al posto della tombola natalizia, tutti basati sul 2017. Le risposte al solito saranno date a san Silvestro, per dare a tutti la possibilità di riciclare i giochi nel veglione.

1. Orologio
Avete presente quegli orologi in cui i numeri da 1 a 12 sono sostituiti da espressioni matematiche che danno quel risultato? Bene, provate a farlo con le cifre di 2017. Non si possono ripetere cifre: quindi 10 e 12 vanno bene, ma 11 no perché si ripete l’1.

2. Orologio 2
Il problema precedente era troppo facile? Bene. Riprovateci usando tutte le cifre nell’ordine in cui si trovano in 2017. Per esempio, 10 = 2 + 0 + 1 + 7.

3. Somma delle cifre
Ho scritto un algoritmo che dato un numero intero positivo in ingresso lo moltiplica per 2017 e ritorna la somma delle cifre del prodotto (in base 10). Per esempio, 2 dà 4034 e quindi 4+0+3+4=11. (Attenzione: l’algoritmo fa un solo passaggio, dunque il risultato è 11 e non 1+1=2). Quali sono i numeri che l’algoritmo può produrre?

4. Una cifra per volta
Dovete giocare con un vostro amico a questo gioco. Si parte dal numero 2017, e ciascuno a turno toglie al numero il valore di una delle cifre che lo compongono, purché non sia zero. Quindi il primo a giocare può togliere 2 e ottenere 2015, 1 e ottenere 2016, oppure 7 e ottenere 2010. Chi ottiene 0 vince. Vi conviene giocare per primi o per secondi?

5. Bianco e rosso
Avete una riga di 2017 pedine bianche da un lato e rosse dall’altra. All’inizio tutte sono bianche tranne una. L’unica mossa che avete a disposizione è scegliere una pedina rossa e girare le due pedine adiacenti (il che significa che non potete mai scegliere una pedina agli estremi, che non ha due pedine adiacenti). È possibile trovare una successione di mosse che faccia diventare rosse tutte le pedine? Se sì, dove deve essere posta la pedina rossa iniziale?