Russell Crowe come John Nash in una scena di "A Beautiful Mind"

Che cos’è la teoria dei giochi

Guida minima alla teoria matematica che descrive le scelte dei giocatori quando interagiscono tra loro, a cui lavorò John Nash

Russell Crowe come John Nash in una scena di "A Beautiful Mind"

Domenica i media di tutto il mondo hanno ricordato John Nash, il matematico statunitense e premio Nobel per l’Economia morto in un incidente stradale nel New Jersey (Stati Uniti) insieme alla moglie, e considerato uno dei più importanti matematici della storia del Novecento. Nash aveva 86 anni ed era soprattutto conosciuto per avere dato un contributo fondamentale alla cosiddetta “teoria dei giochi”, quella parte della matematica dedicata allo studio e all’analisi delle decisioni che ogni soggetto fa quando interagisce con altri per ottenere il massimo guadagno possibile, adottando diversi tipi di strategie e soluzioni, e non necessariamente per vincere. Le teorie di Nash furono in parte illustrate nel film A Beautiful Mind, che fu però criticato per non avere spiegato in modo sufficientemente chiaro in che cosa consista la teoria dei giochi, né quali siano stati i contributi di Nash alla sua evoluzione.

Teoria dei giochi
Il nome “teoria dei giochi” deriva dal libro Theory of Games and Economic Behavior, pubblicato nei primi anni Quaranta da John von Neumann e Oskar Morgenstern, che avevano provato a definire in termini matematici il modo in cui si comportano gli individui quando si trovano in una situazione che può portare alla spartizione o alla vincita di qualcosa. La teoria si applica quindi a un’infinità di scenari più o meno complessi, da una partita a scacchi a come si regolamenta un mercato per gli scambi economici. Semplificando: si applicano le regole della matematica per descrivere e in certa misura prevedere l’andamento di un gioco o di uno scenario reale.

Regole
Ci sono alcuni presupposti necessari per potere applicare la teoria dei giochi:

– gli individui giocano con lo scopo di vincere, quindi di massimizzare il loro risultato;
– ogni partecipante può prendere un numero finito di decisioni (è comunque contemplata una versione più astratta con numero infinito);
– ogni decisione assunta da un individuo durante il gioco ha delle conseguenze, che possono essere positive o negative;
– il gioco può essere cooperativo, se più individui sono d’accordo con le decisioni assunte, oppure non cooperativo se ci si scontra sulle decisioni degli altri (Nash si occupò soprattutto di questo aspetto).

Interazioni
Gli individui coinvolti nel gioco sono intelligenti, hanno cioè la capacità di comprendere la situazione che hanno davanti e soprattutto hanno la consapevolezza che con loro partecipano altri individui che a loro volta hanno loro schemi mentali su quella situazione. Nella teoria dei giochi classica i decisori sono infinitamente intelligenti, cosa che semplifica le cose da un punto di vista dell’analisi del loro comportamento, ma ci sono comunque numerosi studi per analizzare giocatori con conoscenze e capacità più limitate.

Giochi cooperativi e non cooperativi
Se ci sono interessi in comune tra i giocatori si parla di gioco cooperativo: viene ricercato un fine comune e sono quindi in ballo degli accordi vincolanti tra le parti. I modelli matematici per analizzare i giochi cooperativi sono di solito più semplici rispetto a quelli dei giochi non cooperativi, dove ci sono molte più variabili in gioco. Fu proprio Nash a dare un importante contributo per sviluppare le teorie che gli stanno intorno.

Equilibrio di Nash
Trattandosi di una situazione competitiva, nei giochi non cooperativi i giocatori non hanno la possibilità di stringere accordi vincolanti, a prescindere da quale sia il loro obiettivo (sono proprio le regole del gioco a impedire gli accordi). Ogni individuo partecipa con l’obiettivo di fare sempre la cosa che lo porti ad avere il massimo del guadagno possibile, in questo senso si comporta come un “intelligente ottimista”: cerca in tutti i modi di seguire la strategia che pensa sia più vantaggiosa per se stesso. Può accadere che durante il gioco emerga una condizione in cui ogni partecipante non abbia alcun incentivo a modificare la propria strategia, anche alla luce delle strategie attuate dagli altri. Questo è il punto di equilibrio di Nash: la presenza di un comportamento razionale e utile socialmente perché consente a tutti i giocatori di ottenere qualcosa, che al tempo stesso è nell’interesse di tutti i partecipanti. Nash dimostrò nella sua tesi di dottorato che ogni gioco con un numero finito di giocatori ha almeno un punto di equilibrio, quando si applicano strategie miste.

 

Esempio
Uno degli esempi più semplici per capire l’equilibrio di Nash, e più in generale la teoria dei giochi, è vederne un’applicazione pratica: di solito per farlo si fa ricorso al cosiddetto “dilemma del prigioniero”.

Due persone sono in isolamento in carcere, ciascuna in una cella, e hanno la possibilità di parlare accusando l’altra del crimine o di non parlare affatto. Altre cose da sapere:

– se entrambi non parlano, avranno una pena di un anno;
– se parlano accusandosi a vicenda, rimedieranno una pena di 5 anni;
– se uno accuserà l’altro e l’altro non lo farà, il primo sarà libero e il secondo dovrà starsene in carcere per 6 anni.

Non potendosi confrontare sulla strategia da seguire, i due prigionieri di fatto partecipano a un gioco non cooperativo. Valutate le possibilità, la strada meno rischiosa è accusarsi a vicenda e ricevere una pena di 5 anni: la prima scelta, non parlare, è la più conveniente, ma nessuno dei due ha la garanzia che sia seguita anche dall’altro, che potrebbe all’ultimo scegliere per la terza opzione guadagnando subito la libertà. Accusarsi a vicenda equivale all’equilibro di Nash: entrambi i partecipanti ottengono qualcosa (5 anni invece di 6) e quel qualcosa è nell’interesse di tutti i partecipanti.

E tutto questo si traduce in matematica con equazioni e formule del tipo:
equlibrio-nash

In sintesi
La teoria dei giochi è una teoria matematica che serve per descrivere le scelte razionali che i giocatori fanno quando si trovano in una situazione in cui devono interagire strategicamente, e cioè quando un giocatore può influenzare il comportamento/risultato di un altro giocatore. Può essere applicata a un sacco di ambiti, da quelli per analizzare il comportamento di soggetti in concorrenza sul mercato ai candidati che competono in un’elezione. La teoria dei giochi è basata su modelli matematici, una rappresentazione semplificata della realtà per capire come si comportano i soggetti interessati sulla base delle informazioni di cui dispongono per elaborare una strategia. Queste analisi permettono di capire, e in certa misura prevedere e condizionare, l’evoluzione di un processo come una banale partita a scacchi o il funzionamento complesso del mercato azionario.

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