Il paradosso del compleanno

Quante persone ci devono essere in una stanza perché sia più probabile che due di loro siano nate lo stesso giorno?

di Jim Al-Khalili

Prima di tutto, semplifichiamo il problema dimenticandoci degli anni bisestili, supponiamo che tutti i giorni dell’anno abbiano la stessa probabilità di essere il compleanno di qualcuno e che non ci siano gemelli nella stanza.

L’errore commesso da molti è di pensare che bisogna confrontare due numeri: il numero di persone nella stanza e il numero di giorni dell’anno. Quindi, siccome le 23 persone hanno 365 giorni da scegliere per il loro compleanno, sembra molto più probabile che i loro compleanni si eviteranno, piuttosto che il contrario. Ma questo modo di guardare il problema è fuorviante. Per capire se due persone hanno lo stesso compleanno, dobbiamo considerare le persone a coppie, non una alla volta, e dobbiamo considerare il numero di possibili coppie presenti. Cominciamo con il caso più semplice; con solo tre persone abbiamo tre possibili coppie: AB, AC e BC. Con quattro persone abbiamo sei coppie: AB, AC, AD, BC, BD e CD. Con 23 persone risultano esserci 253 diverse coppie. Vedete bene come sia più facile pensare che una di queste 253 coppie di persone sia nata lo stesso giorno dell’anno, su 365 possibili.

Il modo per fare i calcoli correttamente è cominciare con una coppia, continuare ad aggiungere gente e vedere come cambia la probabilità. Questo si fa non già calcolando la probabilità di condividere un compleanno, ma piuttosto calcolando la probabilità che ogni nuova persona abbia un compleanno diverso da tutte quelle già presenti. Quindi, la probabilità che la seconda persona eviti il compleanno della prima è 364/365, perché tutti i giorni tranne uno sono buoni. La probabilità che la terza persona eviti il compleanno delle altre due, quindi, è 363/365, ma non dobbiamo dimenticarci del fatto che i primi due sono nati in giorni diversi. Nella teoria della probabilità, quando dobbiamo calcolare la probabilità che due eventi diversi accadano contemporaneamente, dobbiamo moltiplicare la probabilità del primo evento con la probabilità del secondo evento. Quindi, la probabilità che la seconda persona eviti il compleanno della prima, e che la terza persona eviti il compleanno delle prime due, è 364/365×363/365=0,9918, cioè il 99,18% circa. Se questa è la probabilità che le tre persone siano nate in tre giorni diversi, allora la probabilità che due di loro abbiano lo stesso compleanno è circa 1–0,9918=0,0082, cioè lo 0,82%. Quindi la probabilità che su tre persone due di loro abbiano lo stesso compleanno è molto bassa, come si poteva immaginare.

Ora si continua questo processo, aggiungendo una persona alla volta e moltiplicando le frazioni fra loro per calcolare la probabilità che ogni nuova persona eviti il compleanno di tutte le altre, finché questa probabilità diventa minore del 50%. Questo è, ovviamente il punto in cui la probabilità che almeno due persone nel gruppo abbiano lo stesso compleanno diventa maggiore della probabilità che tutte abbiano un compleanno diverso. Risulta che abbiamo bisogno di 23 frazioni, cioè di 23 persone:

364365  x  363365  x  362365  x  361365  x  360365… = 0,4927

(23 frazioni moltiplicate tra loro)

E quindi la probabilità che due persone su 23 abbiano lo stesso compleanno è circa:

1 – 0,4927 = 0,5073 = 50,73%

(C) 2012 Bollati Boringhieri editore, Torino Traduzione di Laura Servidei

(foto ROLAND WEIHRAUCH/AFP/GettyImages)

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