Nelle motivazioni, il giudice Giuseppe Grieco afferma che il sisma è stato «certamente non eccezionale per il territorio aquilano e assolutamente in linea con la sismicità storica dell’area». Questa frase è indubbiamente condivisibile: le stime di intensità dei gravi terremoti dal medioevo a oggi sono tra il grado 6 e il 6.5 della scala Richter, e il terremoto dell’aprile 2009 è stato di magnitudo 6.1. L’accusa per gli imputati è che la Casa dello Studente non fosse stata costruita per reggere un terremoto di magnitudo 6, e gli ultimi lavori avessero persino indebolito la struttura; per fare un esempio molto meno cruento, è come dire che pur sapendo che a casa mia sono venuti a trovarmi amici alti fino a due metri io ho fatto costruire una porta alta un metro e novanta. Non è così strano che qualcuno si dovrà chinare per entrare da me, no?

Se Grieco si fosse fermato lì, questo post non ci sarebbe stato. Ma il giudice aggiunge dell’altro: «essendosi verificato in quello che viene definito periodo di ritorno, vale a dire nel lasso temporale di ripetizione di eventi previsto per l’area aquilana». Questo periodo «è stato indicato in circa 325 anni dall’anno 1000». La frase a prima vista è incomprensibile: per fortuna che ci viene in aiuto Wikipedia, che ha una voce sul tempo di ritorno che non è chiarissima ma fa un po’ di luce. Il tempo di ritorno sarebbe «il tempo medio intercorrente tra il verificarsi di due eventi successivi di entità uguale o superiore ad un valore di assegnata intensità». L’idea dovrebbe essere semplice: a partire dal tempo di ritorno puoi calcolare la probabilità che un terremoto di magnitudo pari o superiore alla soglia succeda nel corso della vita utile di un manufatto. Il guaio è che di terremoti forti non ce ne sono moltissimi: secondo l’INGV, nell’area ristretta dell’aquilano ci sono stati terremoti di quell’ordine di grandezza 1315, 1349, 1461, 1703, 1762, più un terremoto un po’ meno forte nel 1958.

A me balzano all’occhio due cose, come si può anche vedere dalle cartine della storia sismica dei luoghi (qui sopra c’è quella di Onna, presa dall’articolo succitato: quella relativa all’Aquila è molto più complessa, perché naturalmente le cronache sono molto più ricche di particolari, ma se ci si limita alle scosse maggiori l’unica differenza è l’aggiunta di quelle del XIV secolo). I dati a disposizione sono pochi; e non sono affatto uniformi, cosa del resto che ci si può aspettare quando si hanno pochissimi dati a disposizione. Parlare di 325 anni di tempo di ritorno per quanto mi riguarda è insensato; anche perché, se ci pensate un attimo, uno potrebbe dedurre che adesso è inutile costruire case pensate per durare un secolo ma capaci a resistere a un sisma di magnitudo 6, visto che tanto la probabilità che nei prossimi cent’anni un sisma così arrivi è molto bassa. Molto più logico appunto definire magnitudo 6.5 come il livello di benchmark, punto.

Però non posso nemmeno dare la colpa al giudice, che ha preso per buoni i dati fornitigli dal perito: perito che non è l’ultimo arrivato, essendo Luis Decanini, professore ordinario di Scienza delle Costruzioni alla Sapienza. Ed è Decanini che un anno e mezzo fa affermò di aver calcolato lui stesso i 325 anni di periodo di ritorno: io continuo a chiedermi a partire da quali dati. Al più Grieco avrebbe potuto chiedere qualche lume su come era stato ricavato quel valore, ma non essendoci purtroppo una formazione statistica di base non ci si accorge neppure che c’è qualcosa che non va.

In definitiva anche in questo caso la condanna c’è stata per la ragione sbagliata, che cioè è possibile prevedere quando ci sarà un terremoto: non a distanza di giorni o settimane come avrebbero dovuto fare i componenti della Commissione Grandi Rischi, ma a distanza di anni o decenni come avrebbero dovuto fare i costruttori e soprattutto i ristrutturatori della Casa dello Studente. Tutto perché il concetto di aleatorietà per costoro deve essere quantificabile nel tempo e non solo nel valore ottenibile, e i morti sono semplici variabili statistiche. Mala tempora currunt.

Aggiornamento: mi è stato fatto notare che nei terremoti le energie sotterranee si accumulano, e quindi ha più senso parlare di periodo di ritorno. La risposta è nì. Innanzitutto il terremoto del 1958, anche se non così distruttivo, ha comunque liberato una notevole quantità di energia, facendo quindi “tornare indietro” l’orologio sismico. Inoltre, se guardate le date degli eventi, notate come ci sia comunque una varianza non banale, con “doppiette” intervallate da periodi più lunghi. Insomma resto della mia opinione che puoi prevedere l’intensità di un terremoto (cosa che i progettisti e ristrutturatori della Casa dello Studente non hanno fatto, e quindi sono stati per me giustamente condannati) ma non la sua data.

Il bestseller di Paolo Giordano a mio parere ci ha guadagnato molto da quel titolo, indubbiamente molto evocativo. I numeri primi, dice Giordano, sono “soli”; tranne che per la coppia 2-3, non ne esistono altri l’uno vicino all’altro. Questo è facile da notare, visto che due numeri consecutivi sono uno pari e uno dispari, e l’unico numero primo pari è 2. I matematici però sono molto più pragmatici di quanto si possa pensare. In assenza di numeri primi vicini hanno così cercato la “next best thing”: coppie di numeri primi a distanza due tra loro. Di queste coppie ce ne sono tante: 11 e 13, 101 e 103, 3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ − 1 e 3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ + 1… (quest’ultima coppia è stata trovata nel 2011 e al momento detiene il record di grandezza). Tali coppie di numeri sono chiamate primi gemelli.

Di coppie ce ne sono tante, dicevo. Ma sono finite o infinite? Non si sa. Peggio ancora, non si ha nemmeno un’idea intuitiva della risposta: per dire, molti matematici sono convinti che l’ipotesi di Riemann sia vera, e credo tutti siano convinti che la congettura “forte” di Goldbach, o quella di Collatz, siano vere e che l’unico guaio sia che non sappiamo come dimostrarle. Invece in questo caso ci sono motivi a favore e contro la congettura, quindi non si sa che pesci pigliare. Si sa per esempio che la distanza media tra due numeri primi cresce, e che ci sono insiemi grandi a piacere di numeri consecutivi composti: però i numeri primi sono “abbastanza”, e distribuiti in maniera abbastanza peculiare, da non negare a priori tale possibilità.

Come scrive David Roberts su Google+ (tra l’altro, avete notato che c’è vita su G+?) i matematici mica si danno per vinti così facilmente. Notano che dire “ci sono infinite coppie di primi a distanza due tra loro” è la stessa cosa che dire “ci sono infinite coppie di primi a distanza minore di tre tra loro”. A questo punto si può ancora abbassare l’asticella e chiedersi “riusciamo a dimostrare che si sono infinite coppie di primi a distanza minore di N, per un qualche N?” Questi non sarebbero ovviamente numeri primi gemelli; potremmo chiamarli fratelli.

Ecco: Zhang è per l’appunto riuscito a trovare questo “qualche N“, che per la precisione è 70.000.000 (settanta milioni). Credo che per una persona non avvezza alla matematica un risultato di questo tipo sia ridicolo: “Come? Dobbiamo cercare numeri a distanza 2 e questo se ne esce fuori con una distanza di settanta milioni? Altro che fratelli, questi sono numeri primi cugini!” Per chi è un po’ più abituato alla matematica, però, questo risultato è eccezionale, perché per la prima volta si avrebbe un limite finito; ed è molto più facile a questo punto lavorare per ridurre il limite. Tra l’altro, nel 2005 era stato dimostrato che esisterebbero infinite coppie di numeri primi a distanza al più 16… se fosse vera la congettura di Elliott-Halberstam sulla distribuzione dei numeri primi, congettura della quale naturalmente non si sa affatto nulla. Il guaio dei matematici che fanno teoria dei numeri è che sono così desiderosi di trovare risultati che spesso peccano di wishful thinking e si chiedono “ma se la proprietà tal dei tali fosse vera, cosa possiamo dimostrare?” Cosa non si fa per qualche articolo.

La dimostrazione di Zhang deve essere ancora validata dalla comunità matematica: ma come dice Terry Tao il fatto che nasca da linee “classiche” come il teorema di Bombieri-Vinogradov e i metodi di Goldston, Pintz e Yildirim rende abbastanza ottimisti i matematici. Vedremo cosa succederà nei prossimi mesi o anni!

Tecnicamente, per quel poco che posso capire io, Helfgott ha preso il risultato di Tao, che come avevo scritto sfruttava il metodo di Hardy-Littlewood-Vinogradov, e ha fatto i conti in maniera più precisa riuscendo quindi a migliorare a sufficienza le stime e quindi ricavare un risultato più forte. Detto questo, a quanto pare questa tecnica non è assolutamente applicabile alla congettura standard di Goldbach. Ancora una volta abbiamo che un’osservazione abbastanza banale (se prendete un numero dispari maggiore di 1000 ci saranno decine di modi per scriverlo come somma di tre primi, e il numero di modi statisticamente aumenta col crescere del numero) viene dimostrata in un modo complicatissimo. Il bello della teoria dei numeri sta proprio qua: scoprire che la struttura dell’insieme dei numeri ha tantissimi vincoli che però non si possono dimostrare semplicemente a vista.

Eccolo qui il test della discordia. Il testo, pensato per i bambini di seconda elementare, è questo: «Francesca vuole sapere quanto è alta. Nella sua classe c’è un metro che misura da 0 a 150 centimetri posizionato nel modo che vedi in figura. Francesca misura la sua altezza. Quanto è alta Francesca?» Come vedete dalla foto, il metro è posizionato alla rovescia, con la marcatura 150 a terra e quella 0 in alto, e una freccia all’altezza di Francesca con indicato 40. Il bambino avrebbe dovuto capire che l’operazione da compiere era la sottrazione 150-40=110 e rispondere di conseguenza; a quanto pare sono in molti ad avere detto che la cosa era troppo complicata per un settenne.

Mi pare di avere anche sentito in giro che il programma in seconda elementare non prevede di fare operazioni con numeri di più di due cifre: se è effettivamente così, le critiche al problema sono sensate. Ma per il resto parliamone. Non ho purtroppo a disposizione bimbi di sette anni, i miei figli sono tremezzenni e quindi troppo piccoli per fare loro la prova: numeri così grandi proprio non li conoscono. Però mi pare che il quesito non sia così complicato, anche se quel metro messo alla rovescia può rendere difficile vedere le cose. Ma sono ragionevolmente convinto che un bimbo di sette anni sappia di essere alto più o meno un metro, e che 40 centimetri sono davvero pochi: quindi un minimo di controllo di realtà avrebbe dovuto far capire che la risposta “40″ era sbagliata, e che bisognava dare un’occhiata più attenta al problema. Ai bambini non si insegna questo tipo di reality check? Questo sì che è un problema, secondo me. Non si è mai troppo giovani per imparare ad azionare il cervello, e comunque non si può fare matematica senza azionare il cervello.

Tutto questo naturalmente è indipendente dalla polemica più generale se ha senso valutare le capacità matematiche, e di comprensione in generale, per mezzo di quiz; quello cioè che è il vero motivo del contendere. Questo tema è sicuramente più dibattibile, partendo dalle banali conseguenze (ma allora ha senso fare i test di ammissione all’università, che sono esattamente dello stesso tipo? Non si rischia di fare un gravissimo errore di valutazione?) e arrivando a considerazioni molto più filosofiche come quelle di Israel (se l’Invalsi è considerato una bibbia, gli insegnanti tenderanno a insegnare a risolvere i quiz, e non a spiegare le cose). Però guardare il singolo problema è come cercare di descrivere una foresta a partire da un albero: il discorso viene indubbiamente sviato, soprattutto in casi come questo in cui “insegnare a risolvere il quiz” richiede sicuramente più creatività che imparare le cose a macchinetta. E voi, che ne dite?

Perché parlo di filosofia matematica, e non di matematica? Semplice. La dimostrazione di Appel e Haken dal punto di vista matematico non è elegante ma funziona: i due avevano trovato una funzione semplificatrice per le mappe, e dimostrato che se si provava che il teorema era vero per 1936 mappe particolari (“inevitabili”, le chiamavano) allora sarebbe stato vero per tutte le possibili mappe. Il computer ha semplicemente eseguito le prove con la forza bruta, un po’ come se per dimostrare che ciascun essere umano ha meno di dieci milioni di capelli si andasse a contarli su tutte le sette miliardi e oltre di teste invece che trovare un limite inferiore per i bulbi in un centimetro quadro e per il numero di centimetri quadri di una testa. Metodo costoso e sfiancante, ma non per un computer.

La dimostrazione del teorema dei quattro colori non ha certo portato alla fine della matematica, anche se non ha certo portato nuovi sviluppi né metodologie “nuove”: contare i casi possibili è sempre stato un modo possibile. Ma ha fatto vedere il mondo in maniera diversa, e questo è il compito della filosofia!

Il termine arriva dal latino, probabilmente passando dal francese fonction; la parola latina è functio, -onis – ricordate che generalmente le lingue romanze non ricavano le parole dal nominativo, ma dall’accusativo mischiato con l’ablativo – che è un nome derivato da functus, participio passato del verbo fungere. Insomma, quando scherzando diciamo che qualcosa “funge” invece che “funziona” stiamo percorrendo a ritroso l’etimologia! Ad ogni modo, secondo il DELI la prima occorrenza nota in italiano è a opera di Anton Francesco Grazzini, uno dei fondatori dell’Accademia della Crusca, morto nel 1584. Grazzini usa la parola nel significato di “attività determinata dalle specifiche mansioni connesse a una carica”. Qualche decennio dopo, Paolo Sarpi lo usa nel senso di “rito religioso”; ci vuole poi ancora un secolo e mezzo prima che il Muratori parli di funzione nel significato di “ruolo, compito”. La cosa divertente è che la parola è anche stata usata da Galileo, ma non nel significato matematico bensì nella frase “funzioni dei giorni santi”; in compenso Muratori era un sacerdote e l’ha usata in senso secolare…

Tornando alla matematica, il termine sembra essere stato introdotto da Leibniz, mentre Newton si trastullava con le flussioni. Maria Gaetana Agnesi nelle sue Instituzioni Analitiche del 1748 spiega che «Da principio si dissero funzioni le Potenze»; quasi contemporaneamente il Riccati definisce una funzione come «espressione matematica che indica come varia una grandezza in relazione al variare d’un’altra o di più altre», e questa definizione matematica è rimasta più o meno invariata, come si può per esempio vedere negli Elementi d’algebra del Paoli. Quando dico “vedere”, intendo proprio quello: l’opera è digitalizzata, e se andate a pagina 153 del suo libro, cioè all’inizio della seconda parte, troverete la definizione. I puristi possono infine consultare il dizionario del Tommaseo, che afferma «Funzione è ogni espressione matematica nella quale si ha particolare riguardo a una o a più quantità d’indole speciale, che di quella espressione fanno parte.»

Come avete visto, a prima vista non è ben chiaro quale sia la logica che abbia portato all’uso della parola matematica a partire da quella nella lingua di tutti i giorni: ma forse il tutto diventa più chiaro quando si pensa che il verbo latino fungere significa letteralmente “compiere, portare avanti qualcosa”, tanto che un defunto è uno che non compie più nulla perché morto. Tornando a quanto scrivevo all’inizio, potremmo quasi dire che questa è una di quelle parolette di cui si è scoperto che non potevamo fare a meno solo dopo averla inventata; prima non c’era proprio idea. Ah: in matematica si parla anche di funtori, che sono un’astrazione del concetto di funzione; ma lasciamo perdere.

Un’ultima nota: oramai che l’informatica è alla portata di tutti possiamo anche dare un’altra definizione di funzione, vedendola come una macchinetta alla quale si danno in pasto dei numeri e da cui escono fuori altri numeri secondo una regola ben precisa. Vi piace?

Il teorema di Hurwitz – o per meglio dire uno dei teoremi di Hurwitz – ci assicura che ci possiamo avvicinare quanto vogliamo a 1; più precisamente, il teorema afferma che dato un qualunque numero irrazionale ξ esiste una successione infinita di frazioni m/n tali che la differenza in valore assoluto tra ξ e m/n è minore di 1/(√5·n²). Detto in altro modo, se noi iniziamo a indicare sul segmento [−1,1] tutti i valori di sin(n), al crescere all’infinito di n il segmento non sarà naturalmente riempito visto che non avremo abbastanza valori a disposizione, ma visto da lontano sembrerà comunque senza buchi.

Tornando al nostro esempio, sin(190)=0,9977992786806…, sin(3872)=0,999916207545327…, sin(18498340)=0,999999999409637… Basta non avere fretta, insomma! Ah: quel √5 ovviamente è colpa del numero aureo. Ci sono costanti che sono sempre tra i piedi.

Insomma va quasi tutto bene, se non per un guaio: in Parilandia non vale il teorema fondamentale dell’aritmetica, quello cioè che afferma che un numero è fattorizzabile in un unico modo come prodotto di primi. Qual è il più piccolo numero che è fattorizzabile in due modi diversi? Il problema è preso da Numberplay, per la cronaca.

L’idea dei binteri può sembrare stupida, ma rivela una proprietà comune in matematica: si prende un concetto e lo si estende. Il concetto di numero primo è stato esteso agli interi di Gauss, i numeri della forma a+bi con a e b interi. In effetti somma e prodotto di due interi di Gauss è ancora un intero di Gauss, proprio come somma e prodotto di due numeri pari è ancora un numero pari. L’unica avvertenza è che il teorema di fattorizzazione unica vale a meno di elementi k che sono invertibili, tali cioè che anche il loro inverso appartenga all’insieme di partenza; questi numeri, con molta fantasia, sono detti unità. Con gli interi positivi l’unica unità è 1; già se prendiamo tutti gli interi abbiamo anche l’”unità” −1, e con gli interi di Gauss le unità sono ben quattro; 1, −1, i e −i. (I numeri razionali diversi da zero sono tutti invertibili, e infatti non si parla di fattorizzazione di un numero razionale).

La fattorizzazione unica può sembrare una cosa assolutamente normale, e se in effetti lo fosse sarebbe stato molto più semplice risolvere l’ultimo teorema di Fermat; invece ci sono estensioni degli interi per cui non vale. Consideriamo per esempio i numeri della forma a+bΦ, dove Φ=√(−5). In questo caso, abbiamo che 6 = 2·3 = (1+Φ)·(1−Φ), e nessuno di questi quattro numeri è ulteriormente fattorizzabile. Per la cronaca, i matematici, sempre precisini, distinguono tra numeri primi e numeri irriducibili. Un numero p è primo se è diverso da zero, non è un’unità, ed è tale che se p divide ab allora p divide almeno uno tra a e b; un numero r è irriducibile se è diverso da zero, non è un’unità, ed è tale che se r = ab allora uno tra a e b è un’unità. In questo caso dunque 2 è irriducibile ma non primo, visto che divide (1+Φ)·(1−Φ) ma non divide nessuno dei due fattori.

Quando operiamo con i numeri interi dire che un numero è primo e irriducibile è la stessa cosa; abbiamo visto che in Parilandia, come anche per i numeri della forma a+bΦ, non è così. Per completezza aggiungo che possono anche esserci numeri primi ma non irriducibili: se prendiamo i numeri modulo 6 abbiamo che 2 è primo, ma è anche il prodotto 5·4. Per i curiosi, qui la fregatura è data dall’esistenza di due numeri diversi da zero il cui prodotto è zero: quanto vale 2·3? Ma non divaghiamo. Quello che è importante dal punto di vista matematico è che tutta questa storia ha portato nel 1843 Ernst Kummer a definire un nuovo concetto, quello di ideale: insomma, anche se il suo approccio non riuscì ad aver ragione dell’ultimo teorema di Fermat e ci volle ancora un secolo e mezzo prima di riuscire a dimostrarlo, la matematica fu lo stesso contenta perché nacque un nuovo campo di studi.

Ah: se non avete ancora risolto il problema iniziale, la risposta è semplice. Perché un numero bintero sia fattorizzabile in due modi diversi, deve avere almeno due fattori, altrimenti sarebbe primo; quindi deve essere un multiplo di 4; non però un multiplo di 8, perché l’ulteriore fattore 2 lo sposteremmo per conto suo. Poi, vedendolo come numero intero, deve avere due fattori dispari da far giocare. In pratica, quindi, bisogna predere due “fattori” 3: gli abitanti di Parilandia possono infatti fattorizzare 36 come 2*18 oppure 6*6, e 2, 6, 18 sono tutti numeri primi.

Immaginate ora di avere due monete, e di volere sapere quanti lanci occorrono in media perché ciascuna di esse abbia mostrato testa almeno una volta. Notate bene la formulazione: non chiedo che escano contemporaneamente entrambe testa: se per esempio i lanci sono stati TC, CC, CT vi sono serviti tre lanci. Insomma le due monete sono indipendenti tra di loro. La risposta dunque dovrebbe continuare a essere 2, giusto? Sbagliato. La risposta è 8/3: se non ci credete, scrivetevi un programmino e fategli fare un migliaio di prove. Indipendenti un corno!

(Se fate i bravi, prima o poi vi spiego come fare a calcolare questi valori usando le relazioni di ricorrenza, e qual è la ragione matematica dietro il paradosso)

a) Calcola il perimetro e l’area di un trapezio isoscele avente la base maggiore di 14,8 cm, la base minore di 6,6 cm e l’altezza di 3 cm.
b) Calcola il perimetro e l’area di un triangolo equilatero avente il lato di 7 cm e l’altezza di 5,2 cm.
c) Calcola il perimetro e l’area di un rombo avente il lato di 8,5 cm e le diagonali di 6 cm e 9 cm.

Siete capaci a scoprire cosa c’è che non va?

Immagino che in molti si saranno chiesti perché questi problemi hanno dati ridondanti: in fin dei conti l’altezza di un triangolo equilatero è definita dalla base e il lato di un rombo dalle sue diagonali. Bisogna però tenere a mente che in quinta elementare non si è ancora studiato il teorema di Pitagora, e quindi il bambino avrebbe dei problemi a ricavare quei dati. D’altra parte mi ricordo perfettamente le formule che avevamo per calcolare le altezze e gli apotemi: nei quaderni a quadretti erano tutte scritte nell’ultima pagina. No, il guaio è un altro.

Ricordate qual è il numerello magico da moltiplicare alla misura del lato di un triangolo equilatero per ricavarne l’altezza? È 0,866, un’approssimazione più che sufficiente del valore effettivo di √3/2. Moltiplichiamo 7 per 0,866 e otteniamo 6,062, che arrotondiamo a 6,1 – i conti li stiamo facendo con una sola cifra decimale. Toh. Ma come è possibile allora che il secondo problema parli di un triangolo equilatero di lato 7 cm e altezza 5,2 cm? Come Stefano si è accorto facendo disegnare a suo figlio il triangolo del problema, quello è isoscele ma non certo equilatero. Ribadisco: nessuno pretende una precisione assoluta, che non avrebbe nemmeno senso in quel contesto: ma visto che dal punto di vista dei conti che il bambino deve fare scrivere 5,2 oppure 6,1 non fa nessuna differenza, non si capisce perché non si sia usato il valore approssimato correttamente.

Lo stesso capita con il terzo problema: noi che siamo grandi e conosciamo il teorema di Pitagora sappiamo che il lato di un rombo è la metà dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti le due diagonali, e quindi la sua lunghezza misurata in centimetri sarà √(81+36), cioè circa 5,4 cm. Peggio ancora: se provate a disegnare il “rombo”, scoprirete che il supposto lato di 8,5 cm è maggiore della somma delle due semidiagonali; insomma, almeno se decidiamo di limitarci alla geometria euclidea, quel rombo è proprio impossibile da disegnare anche a pezzetti!

Naturalmente, quando sopra ho scritto che non si capisce perché non si sia usato il valore approssimato correttamente, facevo un’affermazione retorica. Lo si capisce perfettamente: chi ha compilato il libro di esercizi non aveva nessuna voglia di mettersi a fare due conti e ha inserito numeri a caso una volta che si è reso conto che il bambino di quinta elementare aveva bisogno di più dati di quelli effettivamente necessari. Qual è la logica deduzione che si può fare? Che non te ne deve importare assolutamente nulla di cosa c’è dietro i problemi. Non siamo nemmeno al passo della dematematizzazione, cioè al presentare una situazione più o meno verosimile a partire dalla quale ricavare il problema che poi verrà risolto: e in effetti forse è troppo presto per questo. Però far pensare allo scolaro che la geometria adesso – ma anche la matematica in genere – è semplicemente una macchinetta nella quale tu butti dei numeri, selezioni la formula giusta, e tiri fuori il tuo bel risultato è devastante. Un bimbo con un po’ di spirito di osservazione sarà il primo a dire “che ci serve fare i conti? Ci sono le calcolatrici apposta!”, e non gli si può nemmeno dare tutti i torti. Dire che nella pagina web che presenta il testo si trova tra l’altro scritta questa perla:

• Particolare attenzione è stata posta nell’inserire, all’interno delle varie discipline, pagine specifiche “Imparo a studiare” che conducono all’acquisizione di un metodo di studio, evitando in tal modo l’apprendimento meccanico e mnemonico.

Certo, certo. L’apprendimento meccanico e mnemonico è evitato.

Noticina finale: in compenso, il primo problema è irrisolvibile se non conosci il teorema di Pitagora, perché non hai nessun modo per scoprire la lunghezza dei due lati obliqui. Perlomeno i numeri sono corretti :-)